Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x y d x+2 x^2 d y,
C consiste no segmento de reta de (-2,0) a (2,0) e na metade superior do círculo x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva que é formada por um segmento de reta de a e pela metade superior de um círculo . Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções integralC x y , dx + 2 x^2 , dy e P(x, y) = x y e Q(x, y) = 2 x^2 na integral de linha dada. A integral é:
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde partial Qpartial x = partialpartial x (2 x^2) = 4x é a região delimitada pela curva partial Ppartial y = partialpartial y (x y) = x . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4x - x = 3x
Então, a diferença das derivadas é:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região x = r cos theta e y = r sin theta . Como é a parte superior do círculo mais o segmento de reta de a , podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Em coordenadas polares, temos:
Onde varia de a (raio do círculo) e varia de a (metade superior do círculo).

Passo 5

Vamos expressar 3x = 3r cos theta em coordenadas polares:
integral duplaD 3x , dA = integral0^pi integral0^2 3r cos theta cdot r , dr , dtheta
A integral dupla fica então:
Aqui, em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral0^2 3r cos theta cdot r , dr = 3 cos theta integral0^2 r^2 , dr = 3 cos theta [ r^33 ]0^2 = 3 cos theta ( 83 ) = 8 cos theta :

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em integral0^pi 8 cos theta , dtheta = 8 [ sin theta ]0^pi = 8 (sin pi - sin 0) = 8 (0 - 0) = 0 :

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 0.

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