Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
consiste no segmento de reta de
a
e na metade superior do círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva
que é formada por um segmento de reta de
a
e pela metade superior de um círculo
. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha dada. A integral é:
Aqui, podemos ver que:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região delimitada pela curva
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença das derivadas é:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
. Como
é a parte superior do círculo
mais o segmento de reta de
a
, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Em coordenadas polares, temos:
Onde
varia de
a
(raio do círculo) e
varia de
a
(metade superior do círculo).
Passo 5
Vamos expressar
em coordenadas polares:
A integral dupla fica então:
Aqui,
em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em
:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é igual a 0.
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a
e na curva
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,
é a fronteira de uma região delimitada pela parábola
e pela reta
e pela reta
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,
é a fronteira de uma região entre os círculos
e