Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(y^2-tg^-1 x) d x+(3 x+sen y) d y,
C é a fronteira de uma região delimitada pela parábola y=x^2
e pela reta y=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo da curva , que é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta . O Teorema de Green vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que, para um campo vetorial ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy , a integral de linha ao longo de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região delimitada por de .
Matematicamente, fica assim:

Passo 3

No nosso exercício, temos:
P(x, y) = y^2 - tan^-1(x)
Q(x, y) = 3x + sin(y)
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = 3
partial Ppartial y = 2y
Então, a expressão dentro da integral dupla será:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3 - 2y

Passo 4

Agora, precisamos definir a região y = x^2 Rightarrow x = raizy e x = -raizy sobre a qual vamos integrar. A região está limitada pela parábola e pela reta .
Para facilitar a integração, vamos expressar em termos de :
Então, para entre 0 e 4, varia de a .

Passo 5

Vamos montar a integral dupla:
integral duplaD (3 - 2y) , dx , dy = integraly=0^4 integralx=-raizy^x=raizy (3 - 2y) , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a integralx=-raizy^x=raizy (3 - 2y) , dx = (3 - 2y) cdot ( raizy - (-raizy) ) = (3 - 2y) cdot 2raizy :
2(3 - 2y)raizy
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^4 2(3 - 2y)raizy , dy = 2 integral0^4 (3 - 2y) y^1/2 , dy :
2 integral0^4 3y^1/2 - 2y^3/2 , dy = 2 ( 3 integral0^4 y^1/2 , dy - 2 integral0^4 y^3/2 , dy )
Vamos distribuir integral y^n , dy = y^n+1n+1 :
3 integral y^1/2 , dy = 3 cdot 23 y^3/2 = 2 y^3/2
Calculando as integrais:
-2 integral y^3/2 , dy = -2 cdot 25 y^5/2 = -45 y^5/2
Portanto:

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
2 ( 2 y^3/2 - 45 y^5/2 ) g|0^4 = 2 ( 2 (4)^3/2 - 45 (4)^5/2 )
Calculando as potências de 4:
4^3/2 = 8 e 4^5/2 = 32
Substituindo:
2 ( 2 cdot 8 - 45 cdot 32 ) = 2 (16 - 1285) = 2 ( 805 - 1285 ) = 2 ( -485 ) = -965

Resposta

O valor da integral de linha é .

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