Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. , é a fronteira de uma região delimitada pela parábola
e pela reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo da curva , que é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta . O Teorema de Green vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que, para um campo vetorial , a integral de linha ao longo de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região delimitada por de .
Matematicamente, fica assim:
Passo 3
No nosso exercício, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla será:
Passo 4
Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. A região está limitada pela parábola e pela reta .
Para facilitar a integração, vamos expressar em termos de :