Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região cuja fronteira é o quadrilátero com vértices em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Green para calcular a área de uma região delimitada por um quadrilátero com vértices em
,
,
e
. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para encontrar áreas usando integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para calcular a área, podemos usar uma forma simplificada do teorema:
Aqui,
é a curva que delimita a região.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vértices do quadrilátero:
,
,
e
. Vamos percorrer esses pontos na ordem dada para formar o contorno
.
Passo 4
Vamos dela ponta a ponta e dividir o contorno em quatro segmentos de reta entre os vértices:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Passo 5
Para cada segmento, precisamos parametrizar as curvas e calcular as integrais
e
. Vamos fazer isso um por um.
Segmento 1: De
a
- Parametrização:
, , onde vai de a . - Derivadas:
, . - Integral:
Segmento 2: De
a
- Parametrização:
, , onde vai de a . - Derivadas:
, . - Integral:
Segmento 3: De
a
- Parametrização:
, , onde vai de a . - Derivadas:
, . - Integral:
Segmento 4: De
a
- Parametrização:
, , onde vai de a . - Derivadas:
, . - Integral:
Passo 6
Agora, somamos todas as integrais dos quatro segmentos:
Segundo o Teorema de Green, a área é metade desse resultado:
Resposta
A área da região é
unidades de área.