Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região cuja fronteira é o quadrilátero com vértices em (0,0), (4,0), (3,2) e 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Green para calcular a área de uma região delimitada por um quadrilátero com vértices em (0,0), 4,0, (3,2) e 1,1. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para encontrar áreas usando integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para calcular a área, podemos usar uma forma simplificada do teorema:
Á
Aqui, C é a curva que delimita a região.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vértices do quadrilátero: (0,0), 4,0, (3,2) e 1,1. Vamos percorrer esses pontos na ordem dada para formar o contorno C.

Passo 4

Vamos dela ponta a ponta e dividir o contorno em quatro segmentos de reta entre os vértices:
  1. De (0,0) a 4,0
  2. De 4,0 a (3,2)
  3. De (3,2) a 1,1
  4. De 1,1 a (0,0)

Passo 5

Para cada segmento, precisamos parametrizar as curvas e calcular as integrais e . Vamos fazer isso um por um.

Segmento 1: De (0,0) a 4,0

  • Parametrização: , , onde t vai de 0 a .
  • Derivadas: , .
  • Integral:

Segmento 2: De 4,0 a (3,2)

  • Parametrização: , , onde t vai de 0 a 1.
  • Derivadas: , .
  • Integral:

Segmento 3: De (3,2) a 1,1

  • Parametrização: , , onde t vai de 0 a 1.
  • Derivadas: , .
  • Integral:

Segmento 4: De 1,1 a (0,0)

  • Parametrização: , , onde t vai de 0 a 1.
  • Derivadas: , .
  • Integral:

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais dos quatro segmentos:
Segundo o Teorema de Green, a área é metade desse resultado:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

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