Use o Teorema de Green para calcular integralgamma F d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema): F(x, y)=(raizx+y^3, x^2+raizy), onde gamma consiste no arco de curva y=(x) de (0,0) a (pi, 0) e do segmento de reta (pi, 0) a (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos que calcular a integral de linha integralgamma F cdot dr usando o Teorema de Green. A função vetorial é F(x, y) = (raizx + y^3, x^2 + raizy). A curva gamma é composta por dois pedaços: primeiro, o arco da curva y = sin(x) de (0,0) a (pi, 0), e depois o segmento de reta de (pi, 0) de volta a (0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região encerrada pela curva.

Passo 2

O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa que transforma uma integral de linha ao longo de uma curva fechada gamma em uma integral dupla sobre a região D que essa curva delimita. A fórmula é:
ointgamma F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Aqui, F = (P, Q), então precisamos identificar P e Q a partir da nossa função vetorial.

Passo 3

Identificando as componentes de F, temos:
P(x, y) = raizx + y^3
Q(x, y) = x^2 + raizy
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 + raizy) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (raizx + y^3) = 3y^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointgamma F cdot dr = integral duplaD (2x - 3y^2) dx,dy
Agora, precisamos definir a região D delimitada pela curva gamma. A curva é composta pelo arco y = sin(x) de x=0 a x=pi e pelo segmento de reta de volta ao ponto inicial.

Passo 5

Vamos descrever a região D. Como a curva vai de (0,0) a (pi, 0) seguindo y = sin(x) e depois volta diretamente pelo eixo x, a região D é a área sob o gráfico de y = sin(x) entre 0 e pi.
Para configurar a integral dupla, podemos integrar x de 0 a pi e, para cada x, y vai de 0 a sin(x).

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD (2x - 3y^2) dx,dy = integral0^pi integral0^sin(x) (2x - 3y^2) dy,dx
Vamos resolver a integral interna primeiro em relação a y.

Passo 7

Calculando a integral interna:
integral0^sin(x) (2x - 3y^2) dy = 2x integral0^sin(x) dy - 3 integral0^sin(x) y^2 dy
Integrando termo a termo:
= 2x [y]0^sin(x) - 3 [ y^33 ]0^sin(x)
= 2x sin(x) - [ y^3 ]0^sin(x)
= 2x sin(x) - sin^3(x)

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi ( 2x sin(x) - sin^3(x) ) dx
Vamos resolver essa integral em duas partes separadas:
  1. integral0^pi 2x sin(x) dx
  2. integral0^pi sin^3(x) dx

Passo 9

Primeira parte: integral0^pi 2x sin(x) dx
Usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
u = 2x Rightarrow du = 2 dx
dv = sin(x) dx Rightarrow v = -cos(x)
Aplicando integração por partes:
uv - integral v du = -2x cos(x) + 2 integral cos(x) dx
= -2x cos(x) + 2 sin(x) |0^pi
Calculando nos limites:
= -2pi cos(pi) + 2 sin(pi) - (-2 cdot 0 cdot cos(0) + 2 sin(0))
= -2pi (-1) + 0 - (0 + 0)
= 2pi

Passo 10

Segunda parte: integral0^pi sin^3(x) dx
Podemos usar a identidade trigonométrica sin^3(x) = sin(x)(1 - cos^2(x)):
integral0^pi sin^3(x) dx = integral0^pi sin(x) - sin(x)cos^2(x) dx
Integrando cada termo:
integral sin(x) dx = -cos(x) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2
Para o segundo termo, fazemos substituição u = cos(x), du = -sin(x) dx:
-integral sin(x)cos^2(x) dx = integral u^2 du = u^33 |1^-1 = (-1)^33 - 1^33 = -13 - 13 = -23
Então:
integral0^pi sin^3(x) dx = 2 - 23 = 43

Passo 11

Agora, juntando as duas partes:
integral0^pi ( 2x sin(x) - sin^3(x) ) dx = 2pi - 43 = 6pi3 - 43 = 6pi - 43

Resposta

A integral integralgamma F cdot dr vale 6pi - 43.

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