Use o Teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema): , onde consiste no arco de curva de a e do segmento de reta a .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos que calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A função vetorial é . A curva é composta por dois pedaços: primeiro, o arco da curva de a , e depois o segmento de reta de de volta a . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região encerrada pela curva.
Passo 2
O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa que transforma uma integral de linha ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
Aqui, , então precisamos identificar e a partir da nossa função vetorial.
Passo 3
Identificando as componentes de , temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos definir a região delimitada pela curva . A curva é composta pelo arco de a e pelo segmento de reta de volta ao ponto inicial.
Passo 5
Vamos descrever a região . Como a curva vai de a seguindo e depois volta diretamente pelo eixo , a região é a área sob o gráfico de entre e .
Para configurar a integral dupla, podemos integrar de a e, para cada , vai de a .
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro em relação a .
Passo 7
Calculando a integral interna:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos resolver essa integral em duas partes separadas:
Passo 9
Primeira parte:
Usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos: