Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta quer saber se a sequência
chega a algum valor quando
fica muito grande (isto é, se ela converge) ou se não tem um valor definido (diverge). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências exponenciais e comparar como crescem as potências com bases diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos que estão crescendo mais rápido no numerador e no denominador. No numerador, temos
e
. No denominador, temos
e
. Como
, sabemos que, conforme
aumenta,
cresce mais rápido que
, que por sua vez cresce mais rápido que
.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é a potência de maior base no denominador. Isso ajuda a simplificar a expressão e a visualizar melhor o comportamento quando
tende ao infinito.
Passo 4
Simplificando as frações, temos:
Aqui,
e
são potências com bases menores que 1.
Passo 5
Sabemos que, quando a base de uma potência está entre 0 e 1, à medida que
aumenta, essa potência tende a 0. Então:
Passo 6
Substituindo esses limites na expressão de
:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que:
Dê o termo de ordem
das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.