Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: a_n = (4^n + 2^n) / (5^n + 2^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer saber se a sequência chega a algum valor quando fica muito grande (isto é, se ela converge) ou se não tem um valor definido (diverge). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências exponenciais e comparar como crescem as potências com bases diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos que estão crescendo mais rápido no numerador e no denominador. No numerador, temos e . No denominador, temos e . Como , sabemos que, conforme aumenta, cresce mais rápido que , que por sua vez cresce mais rápido que .

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por , que é a potência de maior base no denominador. Isso ajuda a simplificar a expressão e a visualizar melhor o comportamento quando tende ao infinito.

Passo 4

Simplificando as frações, temos:
Aqui, e são potências com bases menores que 1.

Passo 5

Sabemos que, quando a base de uma potência está entre 0 e 1, à medida que aumenta, essa potência tende a 0. Então:

Passo 6

Substituindo esses limites na expressão de :

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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