Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas, especialmente o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo . À medida que cresce, esse termo se aproxima de 1, já que:
Isso significa que, para grandes, está muito próximo de 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte . O seno de múltiplos de resulta em valores que seguem um padrão cíclico:
Ou seja, a sequência de alterna entre 0, 1, 0, -1 e assim por diante.

Passo 4

Combinando os dois resultados anteriores, a sequência fica:
Isso significa que acaba seguindo o mesmo padrão cíclico de , ou seja, alterna entre 0, 1, 0, -1, …

Passo 5

Para que a sequência convirja, ela precisa se aproximar de um único valor quando tende ao infinito. No entanto, observamos que não se aproxima de nenhum valor específico, pois continua alternando entre 0, 1, 0, -1, etc.

Resposta

A sequência diverge porque não se aproxima de um único valor.

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Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que: