Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
integralC-y^3 d x+x^3 d y-z^3 d z
onde C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 e o plano x+y+z=1 (oriente C para ter o sentido anti-horário quando visto de cima).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. Primeiro, vamos entender o que ele pede:
Enunciado resumido: Calcular a integral de linha
integralC -y^3 dx + x^3 dy - z^3 dz
onde C é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 e o plano x + y + z = 1. A curva C está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Conteúdo da matéria: Teorema de Stokes, cálculo de integrais de linha usando derivadas vetoriais.
O que vamos precisar: Conhecer o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de um campo vetorial, parametrizar superfícies e calcular integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva C com uma integral de superfície sobre uma superfície S que tem C como fronteira. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, F é um campo vetorial, nabla times F é o rotacional de F, e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial F no nosso caso:
F = (-y^3, x^3, -z^3)
Agora, precisamos calcular o rotacional nabla times F. O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
    partial (-z^3)partial y - partial (x^3)partial z = 0 - 0 = 0
  2. Segunda componente:
    partial (-y^3)partial z - partial (-z^3)partial x = 0 - 0 = 0
  3. Terceira componente:
    partial (x^3)partial x - partial (-y^3)partial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2
Então, o rotacional fica:
nabla times F = (0, 0, 3x^2 + 3y^2)

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja fronteira seja a curva C. Uma boa escolha é a parte do plano x + y + z = 1 dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1.
Para parametrizar essa superfície, vamos resolver a equação do plano para z:
z = 1 - x - y
Então, nossa parametrização é:
r(x, y) = (x, y, 1 - x - y)
O domínio (x, y) está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, ou seja, x^2 + y^2 <= 1.

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Para isso, podemos usar os vetores tangentes rx e ry:
rx = (1, 0, -1), ry = (0, 1, -1)
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = (1)(-1) - (-1)(1) , i - (1(-1) - (-1)(0)) , j + (1(1) - 0(0)) , k = ( -1 + 1, 1 - 0, 1 - 0 ) = (0, 1, 1)
Então, o vetor normal é n = (0, 1, 1). Para tornar n um vetor unitário, calculamos sua magnitude:
|n| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Então,
n = (0, 1raiz2, 1raiz2)

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo o rotacional e o vetor normal:
(nabla times F) cdot n = (0, 0, 3x^2 + 3y^2) cdot (0, 1raiz2, 1raiz2) = 0 cdot 0 + 0 cdot 1raiz2 + (3x^2 + 3y^2) cdot 1raiz2 = 3x^2 + 3y^2raiz2
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS 3x^2 + 3y^2raiz2 , dS

Passo 7

Vamos calcular a integral de superfície. Primeiro, observamos que no plano x + y + z = 1, z = 1 - x - y. A área diferencial dS pode ser expressa em termos de dx , dy multiplicado pelo fator .
Calculando as derivadas parciais:
raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2
Então,
partial zpartial x = -1, partial zpartial y = -1
Portanto, a integral fica:
dS = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 , dx , dy = raiz3 , dx , dy
Onde integral duplaD 3x^2 + 3y^2raiz2 cdot raiz3 , dx , dy = raiz3raiz2 integral duplaD 3x^2 + 3y^2 , dx , dy é o disco D.

Passo 8

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e dx , dy = r , dr , dtheta. A região D se torna 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi.
Substituindo na integral:
raiz3raiz2 integral0^2pi integral0^1 3(rcostheta)^2 + 3(rsintheta)^2 cdot r , dr , dtheta = raiz3raiz2 integral0^2pi integral0^1 3r^2(cos^2theta + sin^2theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando cos^2theta + sin^2theta = 1:
raiz3raiz2 integral0^2pi integral0^1 3r^3 , dr , dtheta

Passo 9

Agora, vamos integrar em r:
integral0^1 3r^3 , dr = 3 [ r^44 ]0^1 = 3 ( 14 - 0 ) = 34
Então, a integral fica:
raiz3raiz2 cdot 34 integral0^2pi dtheta = 3raiz34raiz2 cdot 2pi = 3raiz32raiz2 pi
Podemos simplificar raiz3raiz2 = raiz32, então:
3raiz322 pi = 3raiz64 pi

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac3 raiz64 pi.

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