Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde é a interseção do cilindro e o plano (oriente para ter o sentido anti-horário quando visto de cima).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. Primeiro, vamos entender o que ele pede:
Enunciado resumido: Calcular a integral de linha
onde é a interseção do cilindro e o plano . A curva está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Conteúdo da matéria: Teorema de Stokes, cálculo de integrais de linha usando derivadas vetoriais.
O que vamos precisar: Conhecer o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de um campo vetorial, parametrizar superfícies e calcular integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Aqui, é um campo vetorial, é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos identificar o campo vetorial no nosso caso:
Agora, precisamos calcular o rotacional . O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície cuja fronteira seja a curva . Uma boa escolha é a parte do plano dentro do cilindro .
Para parametrizar essa superfície, vamos resolver a equação do plano para :
Então, nossa parametrização é:
O domínio está dentro do cilindro , ou seja, .
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Para isso, podemos usar os vetores tangentes e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Então, o vetor normal é n = (0, 1, 1). Para tornar n um vetor unitário, calculamos sua magnitude:
|n| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Então,
n = (0, 1raiz2, 1raiz2)
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Vamos calcular a integral de superfície. Primeiro, observamos que no plano x + y + z = 1, z = 1 - x - y. A área diferencial dS pode ser expressa em termos de dx , dy multiplicado pelo fator .
dS = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 , dx , dy = raiz3 , dx , dy
Onde integral duplaD 3x^2 + 3y^2raiz2 cdot raiz3 , dx , dy = raiz3raiz2 integral duplaD 3x^2 + 3y^2 , dx , dy é o disco D.
Passo 8
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e dx , dy = r , dr , dtheta. A região D se torna 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi.
Substituindo na integral:
raiz3raiz2 integral0^2pi integral0^1 3(rcostheta)^2 + 3(rsintheta)^2 cdot r , dr , dtheta = raiz3raiz2 integral0^2pi integral0^1 3r^2(cos^2theta + sin^2theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando cos^2theta + sin^2theta = 1:
raiz3raiz2 integral0^2pi integral0^1 3r^3 , dr , dtheta