Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
,
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a equação
e queremos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz em um certo intervalo usando o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema basicamente diz que, se uma função é contínua em um intervalo e muda de sinal, então ela deve passar por zero nesse intervalo, ou seja, tem uma raiz lá. Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender o que é o Teorema do Valor Intermediário.
- Verificar os valores da função nos extremos do intervalo escolhido.
- Confirmar que houve mudança de sinal entre esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa função
. A ideia é escolher um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
tenham sinais opostos.
Passo 3
Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo. Vamos começar com
:
Agora, vamos testar
:
Passo 4
Observamos que
e
. Aqui,
é negativo e
é positivo. Isso significa que a função mudou de sinal entre
e
.
Passo 5
Como
é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio, ou seja, não tem quebras ou saltos. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo
nesse intervalo. Ou seja, existe pelo menos um valor
entre 2 e 3 tal que
.
Resposta
Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.