Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. ,

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a equação e queremos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz em um certo intervalo usando o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema basicamente diz que, se uma função é contínua em um intervalo e muda de sinal, então ela deve passar por zero nesse intervalo, ou seja, tem uma raiz lá. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender o que é o Teorema do Valor Intermediário.
  • Verificar os valores da função nos extremos do intervalo escolhido.
  • Confirmar que houve mudança de sinal entre esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função . A ideia é escolher um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e tenham sinais opostos.

Passo 3

Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo. Vamos começar com :
Agora, vamos testar :

Passo 4

Observamos que e . Aqui, é negativo e é positivo. Isso significa que a função mudou de sinal entre e .

Passo 5

Como é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio, ou seja, não tem quebras ou saltos. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo nesse intervalo. Ou seja, existe pelo menos um valor entre 2 e 3 tal que .

Resposta

Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo .

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. ,
Encontre os pontos pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles?
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas.
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas.