Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação
tem uma raiz no intervalo entre 1 e
. O TVI é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a garantir a existência de raízes de funções contínuas em certos intervalos. Vamos precisar definir uma função, verificar sua continuidade e analisar os valores nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para facilitar:
. Vamos definir a função
. Assim, estamos procurando um valor de
onde
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade da função
. Sabemos que a função logarítmica
é contínua para
e a função polinomial
também é contínua em todo o seu domínio. Como a soma e a subtração de funções contínuas continuam sendo contínuas, então
é contínua no intervalo
.
Passo 4
Vamos calcular os valores de
nos extremos do intervalo:
- Para
:
- Para:
Como
, então
.
Passo 5
Observamos que
e
. O produto desses valores é negativo:
. Isso significa que a função
muda de sinal no intervalo
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um número
nesse intervalo tal que
.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Quais das funções
abaixo têm descontinuidade removível em
? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função
que é igual a
para
e é contínua em
.
(d)
(d)
Use os limites fundamentais
, com
, e
para calcular os limites abaixo.
(e)
(e)
Use o primeiro limite fundamental
para calcular os limites abaixo.
(i)
(i)
É
um ponto ordinário da equação
.