Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
(e) ln x = 3 - 2 x, (1, e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação tem uma raiz no intervalo entre 1 e e. O TVI é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a garantir a existência de raízes de funções contínuas em certos intervalos. Vamos precisar definir uma função, verificar sua continuidade e analisar os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para facilitar: . Vamos definir a função . Assim, estamos procurando um valor de x onde .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade da função f(x). Sabemos que a função logarítmica ln x é contínua para e a função polinomial também é contínua em todo o seu domínio. Como a soma e a subtração de funções contínuas continuam sendo contínuas, então f(x) é contínua no intervalo (1, e).

Passo 4

Vamos calcular os valores de f(x) nos extremos do intervalo:
  • Para x = 1:
    - Para :
Como , então .

Passo 5

Observamos que e . O produto desses valores é negativo: . Isso significa que a função f(x) muda de sinal no intervalo (1, e). Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um número c nesse intervalo tal que .

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo (1, e).

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