Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação tem uma raiz no intervalo entre 1 e . O TVI é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a garantir a existência de raízes de funções contínuas em certos intervalos. Vamos precisar definir uma função, verificar sua continuidade e analisar os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para facilitar: . Vamos definir a função . Assim, estamos procurando um valor de onde .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade da função . Sabemos que a função logarítmica é contínua para e a função polinomial também é contínua em todo o seu domínio. Como a soma e a subtração de funções contínuas continuam sendo contínuas, então é contínua no intervalo .

Passo 4

Vamos calcular os valores de nos extremos do intervalo:
  • Para :
    - Para :
Como , então .

Passo 5

Observamos que e . O produto desses valores é negativo: . Isso significa que a função muda de sinal no intervalo . Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um número nesse intervalo tal que .

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo .

Exercícios relacionados

Quais das funções abaixo têm descontinuidade removível em ? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função que é igual a para e é contínua em .
(d)
Use os limites fundamentais , com , e para calcular os limites abaixo.
(e)
Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(i)
É um ponto ordinário da equação .