Verifique se as séries, a seguir, são convergente. Em caso positivo, determine sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender de séries infinitas e propriedades das funções trigonométricas, especialmente o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, que é
. Sabemos que o cosseno de múltiplos de π tem um padrão interessante:
-
-
-
- E assim por diante…
Isso significa que
. Então, nossa série fica assim:
Passo 3
Agora, vamos analisar se essa série converge. Uma condição para que uma série infinita
converja é que o limite do termo geral
quando n tende ao infinito seja zero, ou seja:
Se esse limite não for zero, a série não pode convergir.
Passo 4
Então, vamos calcular o limite do termo geral:
O que acontece aqui? O termo
alterna entre 1 e -1 conforme n aumenta. Isso significa que o limite não existe, porque não se aproxima de nenhum valor específico.
Passo 5
Já que o limite do termo geral não é zero (na verdade, ele nem existe), podemos concluir, usando o Teste da Divergência, que a série
não converge.
Resposta
A série
não é convergente.
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Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de
. Qual será a sua velocidade após 2,4 e
?
Escreva uma demonstração para a fórmula lógica
supondo que
e
são verdadeiras.
Use o teste da comparação direta para determinar a convergência/divergência das séries:
Verifique se as séries, a seguir, são convergente. Em caso positivo, determine sua soma.