Verifique se as séries, a seguir, são convergente. Em caso positivo, determine sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender de séries infinitas e propriedades das funções trigonométricas, especialmente o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, que é . Sabemos que o cosseno de múltiplos de π tem um padrão interessante:
  • E assim por diante…
Isso significa que . Então, nossa série fica assim:

Passo 3

Agora, vamos analisar se essa série converge. Uma condição para que uma série infinita converja é que o limite do termo geral quando n tende ao infinito seja zero, ou seja:
Se esse limite não for zero, a série não pode convergir.

Passo 4

Então, vamos calcular o limite do termo geral:
O que acontece aqui? O termo alterna entre 1 e -1 conforme n aumenta. Isso significa que o limite não existe, porque não se aproxima de nenhum valor específico.

Passo 5

Já que o limite do termo geral não é zero (na verdade, ele nem existe), podemos concluir, usando o Teste da Divergência, que a série não converge.

Resposta

A série não é convergente.

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Verifique se as séries, a seguir, são convergente. Em caso positivo, determine sua soma.