Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem. sumn=1^infty n(n+3)(n+1)(n+2)(n+5)

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação no Limite, que é uma das ferramentas que a gente aprende em Cálculo para estudar séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor seu comportamento quando (n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 cresce. Olhando para (n^2 + 3n + 2)(n + 5) = n^3 + 8n^2 + 17n + 10 , vamos expandir o numerador e o denominador:
Numerador: n^2 + 3nn^3 + 8n^2 + 17n + 10
Denominador: . Vamos multiplicar dois fatores primeiro:
Agora multiplicamos isso por :
Então, a expressão fica:

Passo 3

Para aplicar o Teste de Comparação no Limite, a gente precisa encontrar uma série com a qual comparar essa. Olhando os termos de maior grau no numerador e no denominador, temos no numerador e no denominador. Isso sugere que compararemos com a série , que é uma série p com .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando limn to infty n(n+3)(n+1)(n+2)(n+5)1n = limn to infty n(n+3)(n+1)(n+2)(n+5) cdot n = limn to infty n^2 + 3nn^3 + 8n^2 + 17n + 10 cdot n tende ao infinito:
limn to infty n^3 + 3n^2n^3 + 8n^2 + 17n + 10 = limn to infty 1 + 3n1 + 8n + 17n^2 + 10n^3 = 1 + 01 + 0 + 0 + 0 = 1
Simplificando:

Passo 5

Como o limite da razão é 1, que é um número positivo finito, o Teste de Comparação no Limite nos diz que a série original e a série comparativa têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência.

Passo 6

Sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Portanto, pela comparação no limite, a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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