Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação no Limite, que é uma das ferramentas que a gente aprende em Cálculo para estudar séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor seu comportamento quando
cresce. Olhando para
, vamos expandir o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
. Vamos multiplicar dois fatores primeiro:
Agora multiplicamos isso por
:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Para aplicar o Teste de Comparação no Limite, a gente precisa encontrar uma série com a qual comparar essa. Olhando os termos de maior grau no numerador e no denominador, temos
no numerador e
no denominador. Isso sugere que compararemos com a série
, que é uma série p com
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito:
Simplificando:
Passo 5
Como o limite da razão é 1, que é um número positivo finito, o Teste de Comparação no Limite nos diz que a série original
e a série comparativa
têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência.
Passo 6
Sabemos que a série
é a série harmônica, que diverge. Portanto, pela comparação no limite, a nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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