Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar os testes de comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Isso vai envolver entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos delas com séries que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Temos:
Aqui, a gente separou a fração em duas partes para ver como cada uma se comporta quando fica grande.

Passo 3

Agora, vamos focar no termo que cresce mais devagar, que é . Sabemos que essa expressão pode ser escrita como .
A gente entra aqui no Teste da Comparação, que funciona assim: a gente compara a nossa série com uma série p, que tem a forma .
Se a série p com diverge, e nossa série é maior que ela, então nossa série também vai divergir.

Passo 4

Sabemos que a série diverge, porque na série p, a série só converge se . Como , ela não converge.
Nosso termo é igual a , e como a nossa série original tem termos maiores ou iguais a esse para todo , pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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