Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar os testes de comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Isso vai envolver entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos delas com séries que já sabemos se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Temos:
Aqui, a gente separou a fração em duas partes para ver como cada uma se comporta quando
fica grande.
Passo 3
Agora, vamos focar no termo que cresce mais devagar, que é
. Sabemos que essa expressão pode ser escrita como
.
A gente entra aqui no Teste da Comparação, que funciona assim: a gente compara a nossa série com uma série p, que tem a forma
.
Se a série p com
diverge, e nossa série é maior que ela, então nossa série também vai divergir.
Passo 4
Sabemos que a série
diverge, porque na série p, a série só converge se
. Como
, ela não converge.
Nosso termo
é igual a
, e como a nossa série original tem termos maiores ou iguais a esse para todo
, pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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