Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(e)
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(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série
e queremos verificar se ela converge ou diverge usando o Teste de Comparação por Limites. Esse teste ajuda a comparar nossa série com outra série mais simples para determinar o comportamento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Para aplicar o Teste de Comparação por Limites, precisamos escolher uma série
que seja semelhante à nossa e cuja convergência ou divergência já seja conhecida. Observando o comportamento dos termos para
grande, percebemos que:
- No numerador, o termo dominante é
. - No denominador, o termo dominante é
.
Então, para
grande,
.
Podemos escolher
, que é a série harmônica conhecida por divergir.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do quociente
quando
tende ao infinito:
Simplificando o numerador:
Então, o limite fica:
Para calcular esse limite, podemos dividir todos os termos pelo maior grau de
, que é
:
Passo 4
O limite que encontramos é
, que está entre 0 e
. Segundo o Teste de Comparação por Limites, se esse limite é um número positivo e finito, então as séries
e
têm o mesmo comportamento quanto à convergência ou divergência.
Sabemos que a série
diverge (é a famosa série harmônica). Portanto, a nossa série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.