Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(e) sumn=0^infty 5 n+13 n^2+2 n-10;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série e queremos verificar se ela converge ou diverge usando o Teste de Comparação por Limites. Esse teste ajuda a comparar nossa série com outra série mais simples para determinar o comportamento dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = 5n + 13n^2 + 2n - 10
Para aplicar o Teste de Comparação por Limites, precisamos escolher uma série que seja semelhante à nossa e cuja convergência ou divergência já seja conhecida. Observando o comportamento dos termos para grande, percebemos que:
  • No numerador, o termo dominante é .
  • No denominador, o termo dominante é .
Então, para grande, .
Podemos escolher , que é a série harmônica conhecida por divergir.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do quociente limn to infty anbn = limn to infty 5n + 13n^2 + 2n - 101n = limn to infty (5n + 1) cdot n3n^2 + 2n - 10 quando (5n + 1) cdot n = 5n^2 + n tende ao infinito:
limn to infty 5n^2 + n3n^2 + 2n - 10
Simplificando o numerador:
limn to infty 5 + 1n3 + 2n - 10n^2 = 5 + 03 + 0 - 0 = 53
Então, o limite fica:
Para calcular esse limite, podemos dividir todos os termos pelo maior grau de , que é :

Passo 4

O limite que encontramos é , que está entre 0 e . Segundo o Teste de Comparação por Limites, se esse limite é um número positivo e finito, então as séries e têm o mesmo comportamento quanto à convergência ou divergência.
Sabemos que a série diverge (é a famosa série harmônica). Portanto, a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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