Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente usar transformações para desenhar o gráfico da função . Além disso, precisamos encontrar o domínio e a imagem dessa função. Vamos precisar entender como as funções trigonométricas podem ser alteradas através de transformações como escala e compressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da função básica . O gráfico dessa função é uma onda periódica que oscila entre 1 e -1, com um período de . Agora, na função , o que muda?
Aqui, o argumento da função foi multiplicado por 2. Isso representa uma compressão horizontal da função. Na prática, isso significa que o gráfico da função oscila mais rápido.

Passo 3

Para entender melhor, vamos calcular o novo período da função . O período de uma função é dado por:
Aplicando isso à nossa função:
Então, o período da função é , o que significa que a função completa uma oscilação completa em metade do período da função básica .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o domínio e a imagem.
  • Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de entrada. Para funções trigonométricas como o cosseno, o domínio é todos os números reais, já que podemos calcular o cosseno para qualquer ângulo.
í
  • Imagem: A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. O cosseno sempre retorna valores entre -1 e 1, independente da transformação na variável.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de , podemos seguir estes passos:
  1. Identificar o período: Como calculamos, é .
  2. Determinar os pontos chave: Pontos onde a função atinge seus máximos, mínimos e zeros.
  3. Desenhar a curva: Com base no período menor, o gráfico oscilará mais rapidamente que a função básica .
Isso resulta em um gráfico que parece a função cosseno tradicional, mas completando uma oscilação completa em em vez de .

Resposta

A função tem domínio e imagem no intervalo . O gráfico é uma versão comprimida horizontalmente da função cosseno básica, com período .

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