Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente usar transformações para desenhar o gráfico da função
. Além disso, precisamos encontrar o domínio e a imagem dessa função. Vamos precisar entender como as funções trigonométricas podem ser alteradas através de transformações como escala e compressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da função básica
. O gráfico dessa função é uma onda periódica que oscila entre 1 e -1, com um período de
. Agora, na função
, o que muda?
Aqui, o argumento da função
foi multiplicado por 2. Isso representa uma compressão horizontal da função. Na prática, isso significa que o gráfico da função oscila mais rápido.
Passo 3
Para entender melhor, vamos calcular o novo período da função
. O período
de uma função
é dado por:
Aplicando isso à nossa função:
Então, o período da função
é
, o que significa que a função completa uma oscilação completa em metade do período da função básica
.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o domínio e a imagem.
- Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de entrada. Para funções trigonométricas como o cosseno, o domínio é todos os números reais, já que podemos calcular o cosseno para qualquer ângulo.
- Imagem: A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. O cosseno sempre retorna valores entre -1 e 1, independente da transformação na variável.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de
, podemos seguir estes passos:
- Identificar o período: Como calculamos, é
. - Determinar os pontos chave: Pontos onde a função atinge seus máximos, mínimos e zeros.
- Desenhar a curva: Com base no período menor, o gráfico oscilará mais rapidamente que a função básica
.
Isso resulta em um gráfico que parece a função cosseno tradicional, mas completando uma oscilação completa em
em vez de
.
Resposta
A função
tem domínio
e imagem no intervalo
. O gráfico é uma versão comprimida horizontalmente da função cosseno básica, com período
.
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