Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema que temos é:

Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares e uso da Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como aplicá-las em derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:

E,

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação original:

Substituindo as transformadas:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm :

Fatorando :

Passo 5

Isolando :

Vamos simplificar essa fração para facilitar a obtenção da Transformada Inversa.

Passo 6

Supondo que as condições iniciais e sejam conhecidas (por exemplo, e ), substituímos esses valores na expressão de :

Passo 7

Agora, vamos decompôr em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Dependendo dos valores de e , podemos separar os termos e resolver cada um individualmente.

Passo 8

Após decompor em frações parciais e simplificar, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo para encontrar . Isso resultará na solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

Onde foi encontrado nos passos anteriores. Substituindo e simplificando, obtemos a expressão final para .

Exercícios relacionados

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Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) ,
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(l)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(d)
Calcule :
(k)