Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema que temos é:
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares e uso da Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como aplicá-las em derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:
E,
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação original:
Substituindo as transformadas:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
Passo 5
Isolando
:
Vamos simplificar essa fração para facilitar a obtenção da Transformada Inversa.
Passo 6
Supondo que as condições iniciais
e
sejam conhecidas (por exemplo,
e
), substituímos esses valores na expressão de
:
Passo 7
Agora, vamos decompôr
em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Dependendo dos valores de
e
, podemos separar os termos e resolver cada um individualmente.
Passo 8
Após decompor em frações parciais e simplificar, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo para encontrar
. Isso resultará na solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução da equação diferencial
é dada por:
Onde
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Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) ,
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(l)
(l)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(d)
(d)
Calcule
:
(k)
(k)