Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. Basicamente, temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é
, com
e
. Para resolver isso, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com
:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Observando que
, então:
Passo 5
Vamos separar as frações para facilitar a inversão:
Primeira parte:
Segunda parte:
Essa parte pode ser trabalhada usando frações parciais ou tabelas de transformadas, mas para simplificar, vamos focar na inversão direta.
Passo 6
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Resposta
Assim, a solução da equação diferencial é:
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Para cada uma das funções
abaixo, determine
tal que
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tal que
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