Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. Basicamente, temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é , com e . Para resolver isso, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais e :

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com :

Passo 4

Agora, resolvemos para :
Observando que , então:

Passo 5

Vamos separar as frações para facilitar a inversão:
Primeira parte:
Segunda parte:
Essa parte pode ser trabalhada usando frações parciais ou tabelas de transformadas, mas para simplificar, vamos focar na inversão direta.

Passo 6

Aplicando a Transformada de Laplace inversa:

Resposta

Assim, a solução da equação diferencial é:

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