Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e quer resolver usando a transformada de Laplace. O problema envolve encontrar uma função que satisfaz a equação com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente para derivadas e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada envolve os valores iniciais da função.
A equação original é:
Aplicando a transformada de Laplace:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das fórmulas das transformadas de Laplace para as derivadas:
Substituindo essas na equação:

Passo 4

Vamos substituir os valores iniciais e :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que:
Para e :

Passo 6

Voltando à equação transformada:
Vamos resolver para :

Passo 7

Observe que o denominador pode ser fatorado:
Então, substituindo:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos reescrever como :
Então:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:

Resposta

Somando tudo, a solução da equação diferencial é:

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