Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e quer resolver usando a transformada de Laplace. O problema envolve encontrar uma função que satisfaz a equação com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente para derivadas e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada envolve os valores iniciais da função.
A equação original é:
Aplicando a transformada de Laplace:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das fórmulas das transformadas de Laplace para as derivadas:
Substituindo essas na equação:
Passo 4
Vamos substituir os valores iniciais e :
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que:
Para e :
Passo 6
Voltando à equação transformada:
Vamos resolver para :
Passo 7
Observe que o denominador pode ser fatorado:
Então, substituindo:
Passo 8
Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos reescrever como :
Então:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo: