Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
Onde
Resposta: .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e precisamos resolvê-la usando transformadas de Laplace. O enunciado é o seguinte:
Onde é uma função definida por partes:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace de funções e suas propriedades, especialmente para equações diferenciais e funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Dado que e , as expressões simplificam para:
Aplicando a transformada na equação original:
Passo 3
Agora, vamos isolar :
Note que , então:
Passo 4
Precisamos agora encontrar a transformada de Laplace de . Como é uma função por partes, podemos expressá-la utilizando funções de Heaviside (funções degrau unitário) para simplificar.
Vamos reescrever :
Aqui, é a função de Heaviside que “liga” a partir de .
Então,
Sabendo que:
Portanto,
Passo 5
Substituindo de volta em :
Agora, para facilitar a inversão, podemos separar a fração:
Passo 6
Vamos agora encontrar a transformada inversa de Laplace para cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando o deslocamento na transformação de Heaviside:
Assim, aplicando para cada termo:
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, temos a solução geral :