Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
k { x'' + 2x' + x = f(t) ; x(0) = 0 ; x'(0) = 0 }
Onde f(t) = { 0, 0 <= t < 1; 1, 1 <= t < 2; -1, 2 <= t < 3; 0, 3 <= t }
Resposta: x(t) = u1(t) [1 - e^-(t-1) - (t-1)e^-(t-1)] - 2u2(t) [1 - e^-(t-2) - (t-2)e^-(t-2)] +u3(t)[1-e^(-(t-3))-(t-3)e^(-(t-3))].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e precisamos resolvê-la usando transformadas de Laplace. O enunciado é o seguinte:
Onde é uma função definida por partes:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace de funções e suas propriedades, especialmente para equações diferenciais e funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Dado que e , as expressões simplificam para:
Aplicando a transformada na equação original:

Passo 3

Agora, vamos isolar :
Note que , então:

Passo 4

Precisamos agora encontrar a transformada de Laplace de . Como é uma função por partes, podemos expressá-la utilizando funções de Heaviside (funções degrau unitário) para simplificar.
Vamos reescrever :
Aqui, é a função de Heaviside que “liga” a partir de .
Então,
Sabendo que:
Portanto,

Passo 5

Substituindo de volta em :
Agora, para facilitar a inversão, podemos separar a fração:

Passo 6

Vamos agora encontrar a transformada inversa de Laplace para cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando o deslocamento na transformação de Heaviside:
Assim, aplicando para cada termo:

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, temos a solução geral :

Resposta

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