Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
x'' + 8 x' + 15 x = 0 ; x(0) = 2 ; x'(0) = -3 Resposta: x(t) = 1/2 (7 e^(-3 t) - 3 e^(-5 t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação usando as transformadas de Laplace. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é e a de é . A equação fica assim:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos juntar os termos que contêm e os termos constantes:
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão 15 e somados dão 8. Esses números são 3 e 5.
Então:
Assim, a expressão para fica:

Passo 6

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace.
Proponho:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação. Primeiro, :
Agora, :

Passo 8

Com os valores de e , a expressão de fica:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabendo que , temos:

Resposta

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