Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.: Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação usando as transformadas de Laplace. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é e a de é . A equação fica assim:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos juntar os termos que contêm e os termos constantes:
Agora, isolamos :
Passo 5
Vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão 15 e somados dão 8. Esses números são 3 e 5.
Então:
Assim, a expressão para fica:
Passo 6
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace.
Proponho:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 7
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação. Primeiro, :
Agora, :
Passo 8
Com os valores de e , a expressão de fica:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabendo que , temos: