Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.: Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando as Transformadas de Laplace. O problema que temos é encontrar a função que satisfaz a seguinte equação diferencial com as condições iniciais dadas:
Para resolver isso, vamos aplicar as Transformadas de Laplace na equação diferencial, resolver no domínio de e depois usar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar .
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que contêm :
Agora, isolamos :
Passo 5
Vamos simplificar o denominador , que pode ser fatorado:
Então, a expressão para fica:
Passo 6
Vamos separar a fração para facilitar a Transformada Inversa:
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para cada termo:
Resolvendo para A, B, C e D, encontramos:
Passo 7
Substituímos esses valores na expressão de :
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
Juntando todos os termos, a solução da equação diferencial é: