Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando as Transformadas de Laplace. O problema que temos é encontrar a função que satisfaz a seguinte equação diferencial com as condições iniciais dadas:
Para resolver isso, vamos aplicar as Transformadas de Laplace na equação diferencial, resolver no domínio de e depois usar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm :
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos simplificar o denominador , que pode ser fatorado:
Então, a expressão para fica:

Passo 6

Vamos separar a fração para facilitar a Transformada Inversa:
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para cada termo:
Resolvendo para A, B, C e D, encontramos:

Passo 7

Substituímos esses valores na expressão de :
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

Juntando todos os termos, a solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
Resposta:
Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
Resposta:
Usando a tabela e as propriedades encontre a transformada de Laplace das seguintes funções. Uma integração por partes preliminar pode ser necessária:
.
Resposta:
Encontre as transformadas inversas de Laplace das funções:
.
Resposta: