Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.: Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais usando Transformadas de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nessa equação e usar as propriedades das transformadas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Com as condições iniciais:
Passo 3
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E:
Passo 4
Substituindo na equação transformada:
Isso simplifica para:
Passo 5
Isolamos :
Passo 6
Para achar , precisamos fazer a decomposição em frações parciais de :
Após calcular os valores de , encontramos:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace: