Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
x'' + 4x = cos(t), x(0) = 0, x'(0) = 0 Resposta: x(t) = (1/3) * (cos(t) - cos(2t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais usando Transformadas de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nessa equação e usar as propriedades das transformadas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Com as condições iniciais:

Passo 3

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E:

Passo 4

Substituindo na equação transformada:
Isso simplifica para:

Passo 5

Isolamos :

Passo 6

Para achar , precisamos fazer a decomposição em frações parciais de :
Após calcular os valores de , encontramos:
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:

Resposta

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