Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
x'' + 9x = 1, x(0) = 0, x'(0) = 0 Resposta: x(t) = (1/9)(1 - cos(3t))

Passo 1

Então, você tem um problema onde precisa resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é com as condições iniciais e . Vamos usar a Transformada de Laplace para transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para , e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada segunda é:
Como e , isso simplifica para:
A Transformada de Laplace de é simplesmente , e a Transformada de Laplace de 1 é .

Passo 3

Agora, substituímos tudo na equação transformada:
Fatorando :
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais para facilitar a Transformada Inversa. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos:
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo. Sabemos que:
e
Aqui, porque . Então:

Resposta

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