Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.: Resposta:
Passo 1
Então, você tem um problema onde precisa resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é com as condições iniciais e . Vamos usar a Transformada de Laplace para transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para , e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada segunda é:
Como e , isso simplifica para:
A Transformada de Laplace de é simplesmente , e a Transformada de Laplace de 1 é .
Passo 3
Agora, substituímos tudo na equação transformada:
Fatorando :
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Passo 4
Vamos decompor em frações parciais para facilitar a Transformada Inversa. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo. Sabemos que: