Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas. nabla cdot T

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o divergente de um tensor T utilizando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Basicamente, estamos trabalhando com a operação de divergente aplicada a um tensor de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o divergente de um tensor e como aplicá-lo nas coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um tensor de segunda ordem. Um tensor de segunda ordem T pode ser representado por uma matriz de componentes Tij, onde i e j indicam as direções nos eixos cartesianos (x, y, z).
O divergente de um tensor, denotado por nabla cdot T, é uma operação que resulta em um vetor. Essa operação generaliza o conceito de divergente aplicado a vetores, mas agora para tensores de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos ver como calcular o divergente de um tensor em coordenadas cartesianas. Em coordenadas cartesianas, a operação de divergente para um tensor T é dada pela derivada parcial dos componentes do tensor em relação às coordenadas espaciais.
Matematicamente, o divergente de T é definido como:
(nabla cdot T)i = sumj=1^3 partial Tijpartial xj
Aqui, i representa a componente do vetor resultante, e a soma é feita sobre o índice j que varia de 1 a 3 (correspondendo aos eixos x, y, z).

Passo 4

Vamos detalhar essa expressão. Para cada componente i do vetor resultante, somamos as derivadas parciais dos componentes Tij do tensor em relação às coordenadas xj. Isso significa que:
  • Para i=1 (componente x do vetor resultante):
    (nabla cdot T)x = partial T11partial x + partial T12partial y + partial T13partial z
  • Para i=2 (componente y do vetor resultante):
    (nabla cdot T)y = partial T21partial x + partial T22partial y + partial T23partial z
  • Para i=3 (componente z do vetor resultante):
    (nabla cdot T)z = partial T31partial x + partial T32partial y + partial T33partial z

Passo 5

Com isso, conseguimos expressar o divergente do tensor T como um vetor cujas componentes são essas somas de derivadas parciais. Portanto, o vetor resultante nabla cdot T será:
nabla cdot T = ( partial T11partial x + partial T12partial y + partial T13partial z ) ex + ( partial T21partial x + partial T22partial y + partial T23partial z ) ey + ( partial T31partial x + partial T32partial y + partial T33partial z ) ez

Resposta

O divergente do tensor T em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla cdot T = ( partial T11partial x + partial T12partial y + partial T13partial z ) ex + ( partial T21partial x + partial T22partial y + partial T23partial z ) ey + ( partial T31partial x + partial T32partial y + partial T33partial z ) ez
Esse é o vetor resultante do divergente do tensor T nas coordenadas cartesianas.

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