Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o divergente de um tensor
utilizando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Basicamente, estamos trabalhando com a operação de divergente aplicada a um tensor de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o divergente de um tensor e como aplicá-lo nas coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um tensor de segunda ordem. Um tensor de segunda ordem
pode ser representado por uma matriz de componentes
, onde
e
indicam as direções nos eixos cartesianos (x, y, z).
O divergente de um tensor, denotado por
, é uma operação que resulta em um vetor. Essa operação generaliza o conceito de divergente aplicado a vetores, mas agora para tensores de segunda ordem.
Passo 3
Agora, vamos ver como calcular o divergente de um tensor em coordenadas cartesianas. Em coordenadas cartesianas, a operação de divergente para um tensor
é dada pela derivada parcial dos componentes do tensor em relação às coordenadas espaciais.
Matematicamente, o divergente de
é definido como:
Aqui,
representa a componente do vetor resultante, e a soma é feita sobre o índice
que varia de 1 a 3 (correspondendo aos eixos x, y, z).
Passo 4
Vamos detalhar essa expressão. Para cada componente
do vetor resultante, somamos as derivadas parciais dos componentes
do tensor em relação às coordenadas
. Isso significa que:
-
Para
(componente x do vetor resultante): -
Para
(componente y do vetor resultante): -
Para
(componente z do vetor resultante):
Passo 5
Com isso, conseguimos expressar o divergente do tensor
como um vetor cujas componentes são essas somas de derivadas parciais. Portanto, o vetor resultante
será:
Resposta
O divergente do tensor
em coordenadas cartesianas é dado por:
Esse é o vetor resultante do divergente do tensor
nas coordenadas cartesianas.