Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o divergente de um tensor utilizando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Basicamente, estamos trabalhando com a operação de divergente aplicada a um tensor de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o divergente de um tensor e como aplicá-lo nas coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um tensor de segunda ordem. Um tensor de segunda ordem pode ser representado por uma matriz de componentes , onde e indicam as direções nos eixos cartesianos (x, y, z).
O divergente de um tensor, denotado por , é uma operação que resulta em um vetor. Essa operação generaliza o conceito de divergente aplicado a vetores, mas agora para tensores de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos ver como calcular o divergente de um tensor em coordenadas cartesianas. Em coordenadas cartesianas, a operação de divergente para um tensor é dada pela derivada parcial dos componentes do tensor em relação às coordenadas espaciais.
Matematicamente, o divergente de é definido como:
Aqui, representa a componente do vetor resultante, e a soma é feita sobre o índice que varia de 1 a 3 (correspondendo aos eixos x, y, z).

Passo 4

Vamos detalhar essa expressão. Para cada componente do vetor resultante, somamos as derivadas parciais dos componentes do tensor em relação às coordenadas . Isso significa que:
  • Para (componente x do vetor resultante):
  • Para (componente y do vetor resultante):
  • Para (componente z do vetor resultante):

Passo 5

Com isso, conseguimos expressar o divergente do tensor como um vetor cujas componentes são essas somas de derivadas parciais. Portanto, o vetor resultante será:

Resposta

O divergente do tensor em coordenadas cartesianas é dado por:
Esse é o vetor resultante do divergente do tensor nas coordenadas cartesianas.

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Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.