Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e entender um pouco do conteúdo que vamos usar. A pergunta quer que, usando Álgebra Tensorial, a gente calcule o resultado da operação divergente de um vetor, representada por
, nas coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o divergente, como ele funciona na Álgebra Tensorial e como aplicá-lo nas coordenadas
,
e
que a gente usa no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial
, escrito como
, basicamente mede quanta “parte” do vetor está saindo (ou entrando) de um ponto específico. É como se a gente estivesse vendo se o ponto é uma fonte, que emite vetores, ou um sumidouro, que absorve vetores.
Passo 3
Agora, vamos representar o vetor
nas coordenadas cartesianas. Em 3D, ele pode ser escrito assim:
Aqui,
,
e
são as componentes do vetor nas direções
,
e
, respectivamente, e
,
,
são os vetores unitários nessas direções.
Passo 4
O operador nabla, representado por
, é uma ferramenta que a gente usa para calcular coisas como o divergente. Nas coordenadas cartesianas, ele é definido como:
Para encontrar o divergente, a gente faz o produto escalar desse operador com o vetor
:
Passo 5
Como os vetores unitários
,
e
são perpendiculares entre si e têm módulo 1, o produto escalar simplifica para a soma das derivadas parciais das componentes do vetor: