Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas. nabla cdot v

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e entender um pouco do conteúdo que vamos usar. A pergunta quer que, usando Álgebra Tensorial, a gente calcule o resultado da operação divergente de um vetor, representada por nabla cdot v, nas coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o divergente, como ele funciona na Álgebra Tensorial e como aplicá-lo nas coordenadas x, y e z que a gente usa no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial v, escrito como nabla cdot v, basicamente mede quanta “parte” do vetor está saindo (ou entrando) de um ponto específico. É como se a gente estivesse vendo se o ponto é uma fonte, que emite vetores, ou um sumidouro, que absorve vetores.

Passo 3

Agora, vamos representar o vetor v nas coordenadas cartesianas. Em 3D, ele pode ser escrito assim:
v = vx ex + vy ey + vz ez
Aqui, vx, vy e vz são as componentes do vetor nas direções x, y e z, respectivamente, e ex, ey, ez são os vetores unitários nessas direções.

Passo 4

O operador nabla, representado por nabla, é uma ferramenta que a gente usa para calcular coisas como o divergente. Nas coordenadas cartesianas, ele é definido como:
nabla = ex partialpartial x + ey partialpartial y + ez partialpartial z
Para encontrar o divergente, a gente faz o produto escalar desse operador com o vetor v:
nabla cdot v = ex partial vxpartial x + ey partial vypartial y + ez partial vzpartial z

Passo 5

Como os vetores unitários ex, ey e ez são perpendiculares entre si e têm módulo 1, o produto escalar simplifica para a soma das derivadas parciais das componentes do vetor:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z

Resposta

nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z

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