Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e entender um pouco do conteúdo que vamos usar. A pergunta quer que, usando Álgebra Tensorial, a gente calcule o resultado da operação divergente de um vetor, representada por
, nas coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o divergente, como ele funciona na Álgebra Tensorial e como aplicá-lo nas coordenadas
,
e
que a gente usa no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial
, escrito como
, basicamente mede quanta “parte” do vetor está saindo (ou entrando) de um ponto específico. É como se a gente estivesse vendo se o ponto é uma fonte, que emite vetores, ou um sumidouro, que absorve vetores.
Passo 3
Agora, vamos representar o vetor
nas coordenadas cartesianas. Em 3D, ele pode ser escrito assim:
Aqui,
,
e
são as componentes do vetor nas direções
,
e
, respectivamente, e
,
,
são os vetores unitários nessas direções.
Passo 4
O operador nabla, representado por
, é uma ferramenta que a gente usa para calcular coisas como o divergente. Nas coordenadas cartesianas, ele é definido como:
Para encontrar o divergente, a gente faz o produto escalar desse operador com o vetor
:
Passo 5
Como os vetores unitários
,
e
são perpendiculares entre si e têm módulo 1, o produto escalar simplifica para a soma das derivadas parciais das componentes do vetor:
Resposta
Exercícios relacionados
Um trocador de calor de casco e tubo opera com dois passes no casco e quatro passes nos tubos. 0 fluido do casco é etileno glicol, que entra a
e sai a
, com vazão de
. Água escoa pelo interior dos tubos entrando a
e saindo a
. Calcule a vazão de água necessária e a área do trocador de calor. O coeficiente global de transferência de calor para este arranjo é
médio do etileno glicol é de
da água para estas condições é de
). (R: 3.540
e
).
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Um trocador de calor de calor de escoamentos cruzados e tubos aletados deve usar o gás de exaustão de uma turbina a gás para aquecer água pressurizada. Medidas em laboratório são efetuadas em uma versão protótipo do trocador, com área superficial de
, para determinar o coeficiente global de transferência de calor como função das condições operacionais. Medidas efetuadas sob condições particulares, nas quais
e
, revelam uma temperatura de saída da água a
. Qual é o valor do coeficiente global de transferência de calor do trocador? (
.
O condensador de uma instalação de refrigeração é um trocador de calor no qual ocorre a condensação do refrigerante. Considere que o condensador é um trocador de calor casco e tubos, com um único casco e 30.000 tubos, cada um efetuando dois passes. Os tubos possuem parede delgada e diâmetro
, e o vapor condensa sobre a superfície externa dos tubos, com um coeficiente global de transferência de calor de
. A taxa de transferência de calor que deve ser efetivada é de q
, e isto é atingido pela passagem de água de resfriamento através dos tubos a uma vazão de 3 x
. A água entra nos tubos a
, enquanto o vapor condensa a uma temperatura de
. Qual é a temperatura da água de resfriamento na saída do condensador? Qual deve ser o comprimento L por passe dos tubos?
da água é de aproximadamente
.