Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e entender um pouco do conteúdo que vamos usar. A pergunta quer que, usando Álgebra Tensorial, a gente calcule o resultado da operação divergente de um vetor, representada por , nas coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o divergente, como ele funciona na Álgebra Tensorial e como aplicá-lo nas coordenadas , e que a gente usa no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial , escrito como , basicamente mede quanta “parte” do vetor está saindo (ou entrando) de um ponto específico. É como se a gente estivesse vendo se o ponto é uma fonte, que emite vetores, ou um sumidouro, que absorve vetores.

Passo 3

Agora, vamos representar o vetor nas coordenadas cartesianas. Em 3D, ele pode ser escrito assim:
Aqui, , e são as componentes do vetor nas direções , e , respectivamente, e , , são os vetores unitários nessas direções.

Passo 4

O operador nabla, representado por , é uma ferramenta que a gente usa para calcular coisas como o divergente. Nas coordenadas cartesianas, ele é definido como:
Para encontrar o divergente, a gente faz o produto escalar desse operador com o vetor :

Passo 5

Como os vetores unitários , e são perpendiculares entre si e têm módulo 1, o produto escalar simplifica para a soma das derivadas parciais das componentes do vetor:

Resposta

Exercícios relacionados

Um trocador de calor de casco e tubo opera com dois passes no casco e quatro passes nos tubos. 0 fluido do casco é etileno glicol, que entra a e sai a , com vazão de . Água escoa pelo interior dos tubos entrando a e saindo a . Calcule a vazão de água necessária e a área do trocador de calor. O coeficiente global de transferência de calor para este arranjo é médio do etileno glicol é de da água para estas condições é de ). (R: 3.540 e ).
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Um trocador de calor de calor de escoamentos cruzados e tubos aletados deve usar o gás de exaustão de uma turbina a gás para aquecer água pressurizada. Medidas em laboratório são efetuadas em uma versão protótipo do trocador, com área superficial de , para determinar o coeficiente global de transferência de calor como função das condições operacionais. Medidas efetuadas sob condições particulares, nas quais e , revelam uma temperatura de saída da água a . Qual é o valor do coeficiente global de transferência de calor do trocador? ( .
O condensador de uma instalação de refrigeração é um trocador de calor no qual ocorre a condensação do refrigerante. Considere que o condensador é um trocador de calor casco e tubos, com um único casco e 30.000 tubos, cada um efetuando dois passes. Os tubos possuem parede delgada e diâmetro , e o vapor condensa sobre a superfície externa dos tubos, com um coeficiente global de transferência de calor de . A taxa de transferência de calor que deve ser efetivada é de q , e isto é atingido pela passagem de água de resfriamento através dos tubos a uma vazão de 3 x . A água entra nos tubos a , enquanto o vapor condensa a uma temperatura de . Qual é a temperatura da água de resfriamento na saída do condensador? Qual deve ser o comprimento L por passe dos tubos? da água é de aproximadamente .