Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular das equações diferenciais
b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e precisa achar uma solução específica usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, especificamente na resolução de equações lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender o método dos coeficientes, que consiste em supor uma forma para a solução particular e ajustar os coeficientes para que ela satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o lado direito da equação, que é . Esse termo é a função não homogênea e é o que vai guiar a escolha da nossa solução particular. No método dos coeficientes, a ideia é propor uma solução similar a essa função, mas com parâmetros (coeficientes) desconhecidos que iremos determinar.

Passo 3

Observando , vemos que ele é o produto de um polinômio de grau 2 ( ) e uma função exponencial ( ). Assim, nossa solução particular vai ter a mesma forma: um polinômio de grau 2 multiplicado por . Então, propomos:
onde , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de . Primeiro, a primeira derivada :
E a segunda derivada :

Passo 5

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Somando os termos:

Passo 6

Igualamos isso ao lado direito da equação diferencial :
Como não é zero, podemos cancelar ambos os lados:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Utilizando o resultado do exercício anterior, resolva as seguintes equações diferenciais nãohomogêneas
a)
(b) Uma equação cujo gráfico seja todos os pontos de .
Utilizando os axiomas de ordem, mostre que
b)
Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
c) O supremo do conjunto é 4 .