Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular das equações diferenciais
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e precisa achar uma solução específica usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, especificamente na resolução de equações lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender o método dos coeficientes, que consiste em supor uma forma para a solução particular e ajustar os coeficientes para que ela satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o lado direito da equação, que é
. Esse termo é a função não homogênea e é o que vai guiar a escolha da nossa solução particular. No método dos coeficientes, a ideia é propor uma solução similar a essa função, mas com parâmetros (coeficientes) desconhecidos que iremos determinar.
Passo 3
Observando
, vemos que ele é o produto de um polinômio de grau 2 (
) e uma função exponencial (
). Assim, nossa solução particular
vai ter a mesma forma: um polinômio de grau 2 multiplicado por
. Então, propomos:
onde
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada
:
E a segunda derivada
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Somando os termos:
Passo 6
Igualamos isso ao lado direito da equação diferencial
:
Como
não é zero, podemos cancelar ambos os lados:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Utilizando o resultado do exercício anterior, resolva as seguintes equações diferenciais nãohomogêneas
a)
a)
(b) Uma equação cujo gráfico seja todos os pontos de
.
Utilizando os axiomas de ordem, mostre que
b)
b)
Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
c) O supremo do conjunto é 4 .
c) O supremo do conjunto