Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
(b) Encontre o volume da região limitada abaixo pelo parabolóide
, lateralmente pelo cilindro
, e acima pelo parabolóide
.
(b) Encontre o volume da região limitada abaixo pelo parabolóide
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar o volume da região que está abaixo do parabolóide
, ao redor do cilindro
, e acima do parabolóide
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ideais para lidar com cilindros e simetrias circulares. Precisaremos entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar uma integral tripla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Passo 3
Vamos converter as equações dos parabolóides e do cilindro para coordenadas cilíndricas:
-
Parabolóide inferior:
-
Parabolóide superior:
-
Cilindro:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. O cilindro
define a região em que
varia de 0 a 1. O ângulo
completa uma volta completa, variando de 0 a
. Para a coordenada
, ela varia entre o parabolóide inferior e o parabolóide superior, ou seja, de
a
.
Passo 5
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
:
Aqui, o termo
vem do jacobiano da mudança de coordenadas para cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral simplifica para:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
A integral agora fica:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O volume da região limitada pelos parabolóides
e
, e pelo cilindro
é
unidades cúbicas.