Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
(b) Encontre o volume da região limitada abaixo pelo parabolóide z=x^2+y^2, lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1, e acima pelo parabolóide z=x^2+y^2+1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar o volume da região que está abaixo do parabolóide , ao redor do cilindro , e acima do parabolóide . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ideais para lidar com cilindros e simetrias circulares. Precisaremos entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar uma integral tripla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é representado por x = r cos theta, y = r sin theta, z = z , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:

Passo 3

Vamos converter as equações dos parabolóides e do cilindro para coordenadas cilíndricas:
  1. Parabolóide inferior: z = r^2
    z = r^2 + 1
  2. Parabolóide superior: r^2 = 1 Rightarrow r = 1
  3. Cilindro:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. O cilindro define a região em que varia de 0 a 1. O ângulo completa uma volta completa, variando de 0 a . Para a coordenada , ela varia entre o parabolóide inferior e o parabolóide superior, ou seja, de a .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume V = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^r^2 + 1 r , dz , dr , dtheta :
Aqui, o termo vem do jacobiano da mudança de coordenadas para cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a integralr^2^r^2 + 1 dz = (r^2 + 1) - r^2 = 1 :
V = integral0^2pi integral0^1 r cdot 1 , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta
Agora, a integral simplifica para:

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a integral0^1 r , dr = [ r^22 ]0^1 = 12 :
V = integral0^2pi 12 , dtheta = 12 integral0^2pi dtheta
A integral agora fica:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a 12 integral0^2pi dtheta = 12 cdot (2pi - 0) = pi :

Resposta

O volume da região limitada pelos parabolóides e , e pelo cilindro é unidades cúbicas.

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