Utilize integrais triplas para encontrar o volume da região dada.
(d) Um tetraedro regular de lado a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o volume de um tetraedro regular de lado usando integrais triplas. Primeiro, precisamos entender o que é um tetraedro regular e como usamos integrais triplas para calcular volumes. Um tetraedro regular tem todas as suas faces como triângulos equiláteros e todos os lados com o mesmo comprimento .

Passo 2

Para calcular o volume usando integrais triplas, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Vamos posicionar o tetraedro de forma que um vértice esteja na origem e os outros três vértices estejam nos eixos positivos , e . Assim, os vértices serão , , e .

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para , e . Observando a simetria do tetraedro, notamos que:
  • varia de a .
  • Para cada valor de , varia de a .
  • Para cada par , varia de a .

Passo 4

A integral tripla para o volume V = integral0^a integral0^a - x integral0^a - x - y dz,dy,dx será:
Aqui, estamos integrando a função constante sobre a região do tetraedro.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^a - x - y dz = a - x - y :
V = integral0^a integral0^a - x (a - x - y) dy,dx
Agora, a integral fica:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^a - x (a - x - y) dy = (a - x)y - y^22 g|0^a - x = (a - x)(a - x) - (a - x)^22 = (a - x)^22 :
V = integral0^a (a - x)^22 dx
Então, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, resolvemos a integral em relação a integral0^a (a - x)^22 dx = 12 integral0^a (a^2 - 2a x + x^2) dx = 12 [ a^2 x - a x^2 + x^33 ]0^a :
= 12 [ a^3 - a^3 + a^33 ] = 12 cdot a^33 = a^36
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do tetraedro regular de lado é .

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