Utilize integrais triplas para encontrar o volume da região dada.
(d) Um tetraedro regular de lado .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o volume de um tetraedro regular de lado usando integrais triplas. Primeiro, precisamos entender o que é um tetraedro regular e como usamos integrais triplas para calcular volumes. Um tetraedro regular tem todas as suas faces como triângulos equiláteros e todos os lados com o mesmo comprimento .
Passo 2
Para calcular o volume usando integrais triplas, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Vamos posicionar o tetraedro de forma que um vértice esteja na origem e os outros três vértices estejam nos eixos positivos , e . Assim, os vértices serão , , e .
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para , e . Observando a simetria do tetraedro, notamos que:
varia de a .
Para cada valor de , varia de a .
Para cada par , varia de a .
Passo 4
A integral tripla para o volume será:
Aqui, estamos integrando a função constante sobre a região do tetraedro.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 7
Finalmente, resolvemos a integral em relação a integral0^a (a - x)^22 dx = 12 integral0^a (a^2 - 2a x + x^2) dx = 12 [ a^2 x - a x^2 + x^33 ]0^a :