Utilize integrais triplas para encontrar o volume da região dada.
(b) Um cone de altura h e raio a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um cone que tem altura h e raio a usando integrais triplas. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, mas vou te guiar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como representar o cone matematicamente. Um cone com altura h e raio a pode ser descrito usando coordenadas cilíndricas, que são super úteis para formas circulares como o cone. As coordenadas cilíndricas usam (r, theta, z), onde:
  • r é a distância radial do eixo z,
  • theta é o ângulo ao redor do eixo z,
  • z é a altura.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para cada coordenada:
  • theta varia de 0 a 2pi porque vamos dar uma volta completa ao redor do cone.
  • z varia de 0 a h, já que a altura do cone vai de 0 até h.
  • Para r, vamos perceber que o raio aumenta proporcionalmente à altura. No topo do cone ( z = h), o raio é a. Então, a relação é r = ah z. Assim, para cada z, r vai de 0 até ah z.

Passo 4

Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é r , dr , dtheta , dz. Então, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^h integral0^ah z r , dr , dz , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integraremos em relação a r:
integral0^ah z r , dr = [ 12 r^2 ]0^ah z = 12 ( ah z )^2 = a^2 z^22 h^2
  1. Agora, integraremos em relação a z:
integral0^h a^2 z^22 h^2 , dz = a^22 h^2 [ z^33 ]0^h = a^22 h^2 cdot h^33 = a^2 h6
  1. Por fim, integraremos em relação a theta:
integral0^2pi a^2 h6 , dtheta = a^2 h6 cdot 2pi = pi a^2 h3

Resposta

O volume do cone é V = pi a^2 h3.

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