Utilize integrais triplas para encontrar o volume da região dada.
(b) Um cone de altura
e raio
.
(b) Um cone de altura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um cone que tem altura
e raio
usando integrais triplas. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, mas vou te guiar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como representar o cone matematicamente. Um cone com altura
e raio
pode ser descrito usando coordenadas cilíndricas, que são super úteis para formas circulares como o cone. As coordenadas cilíndricas usam
, onde:
-
é a distância radial do eixo , -
é o ângulo ao redor do eixo , -
é a altura.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para cada coordenada:
-
varia de a porque vamos dar uma volta completa ao redor do cone. -
varia de a , já que a altura do cone vai de 0 até . - Para
, vamos perceber que o raio aumenta proporcionalmente à altura. No topo do cone ( ), o raio é . Então, a relação é . Assim, para cada , vai de até .
Passo 4
Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
- Integraremos em relação a
:
- Agora, integraremos em relação a
:
- Por fim, integraremos em relação a
:
Resposta
O volume do cone é
.