Utilize integrais triplas para encontrar o volume da região dada.
© Uma pirâmide quadrada de lado da base a e altura h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de uma pirâmide quadrada usando integrais triplas. A pirâmide tem uma base quadrada com lado de comprimento a e altura h. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais triplas, para calcular o volume dessa figura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da pirâmide. A base é um quadrado no plano xy com lados de comprimento a, e a altura h está no eixo z. Como é uma pirâmide, as laterais se inclinam de forma que a altura converge para o vértice.

Passo 3

Para configurar a integral tripla, precisamos definir os limites de integração para x, y e z. Vamos posicionar a pirâmide de modo que a base esteja no plano z=0 e o vértice no ponto (a2, a2, h).

Passo 4

Vamos parametrizar os limites:
  • x varia de 0 a a
  • Para cada x, y varia de 0 a a
  • Para cada (x, y), z varia de 0 até a altura correspondente na pirâmide. A equação da face lateral pode ser encontrada observando que z diminui linearmente de h até 0 conforme nos afastamos do vértice.
A equação da face lateral pode ser expressa como:
z = h (1 - 2xa)
e
z = h (1 - 2ya)
Portanto, o limite superior para z é o menor valor entre essas duas expressões:
z = h (1 - 2a max(x, y))

Passo 5

No entanto, para simplificar, vamos considerar que a altura z diminui de forma proporcional igualmente em x e y. Assim, podemos expressar o limite superior de z como:
z = h (1 - 2(x + y)a)

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral tripla para o volume V:
V = integral0^a integral0^a integral0^h (1 - 2(x + y)a) dz , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em z primeiro:
integral0^h (1 - 2(x + y)a) dz = h (1 - 2(x + y)a)

Passo 8

Substituindo de volta na integral dupla:
V = integral0^a integral0^a h (1 - 2(x + y)a) dy , dx

Passo 9

Vamos agora integrar em y:
integral0^a h (1 - 2xa - 2ya) dy = h [(1 - 2xa)y - 2a y^22]0^a
= h [(1 - 2xa)a - 2a cdot a^22]
= h [a - 2x - a]
= -2h x

Passo 10

Agora, integremos em x:
V = integral0^a -2h x , dx = -2h cdot x^22 |0^a = -2h cdot a^22 = -h a^2
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
V = h a^2

Resposta

O volume da pirâmide quadrada é V = h a^2.

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