Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de uma pirâmide quadrada usando integrais triplas. A pirâmide tem uma base quadrada com lado de comprimento e altura . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais triplas, para calcular o volume dessa figura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da pirâmide. A base é um quadrado no plano com lados de comprimento , e a altura está no eixo . Como é uma pirâmide, as laterais se inclinam de forma que a altura converge para o vértice.
Passo 3
Para configurar a integral tripla, precisamos definir os limites de integração para , e . Vamos posicionar a pirâmide de modo que a base esteja no plano e o vértice no ponto .
Passo 4
Vamos parametrizar os limites:
varia de a
Para cada , varia de a
Para cada , varia de até a altura correspondente na pirâmide. A equação da face lateral pode ser encontrada observando que diminui linearmente de até conforme nos afastamos do vértice.
A equação da face lateral pode ser expressa como:
e
Portanto, o limite superior para é o menor valor entre essas duas expressões:
Passo 5
No entanto, para simplificar, vamos considerar que a altura diminui de forma proporcional igualmente em e . Assim, podemos expressar o limite superior de como:
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral tripla para o volume :
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em primeiro:
Passo 8
Substituindo de volta na integral dupla:
Passo 9
Vamos agora integrar em :
Passo 10
Agora, integremos em :
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto: