Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se , então uma curva de nível de será a reta .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos saber se as curvas de nível dessa função, ou seja, as curvas onde (sendo uma constante), são realmente as retas . Para resolver isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como encontrá-las.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que são curvas de nível: para uma função de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de todos os pontos que dão o mesmo valor para a função. Ou seja, para cada valor de , a curva de nível é onde .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar a forma da curva de nível. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Esse é o enunciado de uma reta que passa pela origem com coeficiente angular .

Passo 4

Verificando, vemos que a equação representa uma reta inclinada a um ângulo cujo coeficiente angular é . Portanto, cada curva de nível da função é de fato uma reta que passa pela origem.

Resposta

A afirmação é verdadeira. As curvas de nível de são realmente as retas .

Exercícios relacionados

Encontre as derivadas primeiras e segundas.
Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
29. Se o domínio de for o plano , então o domínio de será o intervalo .
Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo que a função sofre quando se passa de para . Calcule o erro .
Em cada parte, selecione o termo que melhor descreve as curvas de nível da função . Escolha dentre os termos: retas, círculos, elipses não circulares, parábolas ou hipérboles.
43. (a)