Utilizando o método de Gauss, encontre o vetor solução dos seguintes sistemas:
x1-12 x2 & =12 x1+2 x2-x3 & =12 -x2+2 x3-x4 & =13 -x3+2 x4 & =14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss. Esse método envolve transformar o sistema em uma matriz aumentada e, com operações nas linhas, deixá-la numa forma mais fácil de resolver, tipo triangular. Vou precisar de operações básicas com linhas, como trocar, multiplicar ou somar linhas para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema dado:
1 & -12 & 0 & 0 & | & 12 1 & 2 & -1 & 0 & | & 12 0 & -1 & 2 & -1 & | & 13 0 & 0 & -1 & 2 & | & 14

Passo 3

Agora, vamos fazer com que o primeiro elemento abaixo do 1 na primeira coluna seja zero. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda:
R2 = R2 - R1
A matriz fica:
1 & -12 & 0 & 0 & | & 12 0 & 52 & -1 & 0 & | & 0 0 & -1 & 2 & -1 & | & 13 0 & 0 & -1 & 2 & | & 14

Passo 4

Vamos agora eliminar o elemento abaixo do segundo pivô. Para facilitar, multiplicamos a segunda linha por 25 para que o coeficiente de x2 seja 1:
R2 = 25 R2
A matriz fica:
1 & -12 & 0 & 0 & | & 12 0 & 1 & -25 & 0 & | & 0 0 & -1 & 2 & -1 & | & 13 0 & 0 & -1 & 2 & | & 14

Passo 5

Agora, vamos eliminar o -1 abaixo do pivô na segunda coluna. Somamos a segunda linha com a terceira:
R3 = R3 + R2
A matriz fica:
1 & -12 & 0 & 0 & | & 12 0 & 1 & -25 & 0 & | & 0 0 & 0 & 85 & -1 & | & 13 0 & 0 & -1 & 2 & | & 14

Passo 6

Vamos agora focar na terceira coluna. Primeiro, multiplicamos a terceira linha por 58 para que o coeficiente de x3 seja 1:
R3 = 58 R3
A matriz fica:
1 & -12 & 0 & 0 & | & 12 0 & 1 & -25 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & -58 & | & 524 0 & 0 & -1 & 2 & | & 14

Passo 7

Agora, eliminamos o -1 abaixo do pivô na terceira coluna. Somamos a terceira linha com a quarta:
R4 = R4 + R3
A matriz fica:
1 & -12 & 0 & 0 & | & 12 0 & 1 & -25 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & -58 & | & 524 0 & 0 & 0 & 118 & | & 1124

Passo 8

Com a matriz triangular pronta, fazemos a substituição para encontrar as variáveis. Começando pela última linha:
118x4 = 1124 implies x4 = 1124 div 118 = 13

Passo 9

Substituímos x4 na terceira equação:
x3 - 58x4 = 524 implies x3 - 58 times 13 = 524 implies x3 = 524 + 524 = 1024 = 512

Passo 10

Substituímos x3 na segunda equação:
x2 - 25x3 = 0 implies x2 - 25 times 512 = 0 implies x2 - 1060 = 0 implies x2 = 16

Passo 11

Por fim, substituímos x2 na primeira equação:
x1 - 12x2 = 12 implies x1 - 12 times 16 = 12 implies x1 = 12 + 112 = 712

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 712, x2 = 16, x3 = 512, x4 = 13

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