Utilizando o método de Gauss-Seidel, encontre o vetor solução do sistema abaixo. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A ideia é começar com uma estimativa inicial para as variáveis e ir refinando essa estimativa até que a diferença entre as iterações seja menor que uma tolerância definida, no nosso caso, .
Nosso sistema de equações é:
Começaremos com um vetor inicial .

Passo 2

Primeiro, isolamos cada variável nas equações para facilitar a iteração do método. Vamos reescrever cada equação para expressar uma variável em função das outras:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Essa forma é útil porque, na iteração, atualizamos cada variável usando os valores mais recentes disponíveis.

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Nosso vetor inicial é .
Iteração 1:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Então, após a primeira iteração, temos:

Passo 4

Vamos para a segunda iteração, usando os valores de .
Iteração 2:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Agora, nosso vetor é:

Passo 5

Vamos realizar mais uma iteração para verificar a convergência.
Iteração 3:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Nosso vetor agora é:

Passo 6

Vamos verificar se a diferença entre as iterações é menor que .
Calculando as diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos fazer mais uma iteração.

Passo 7

Vamos para a quarta iteração.
Iteração 4:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Nosso vetor agora é:

Passo 8

Vamos novamente verificar as diferenças:
Ainda temos diferenças maiores que em e , então precisamos de mais uma iteração.

Passo 9

Vamos para a quinta iteração.
Iteração 5:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Nosso vetor agora é:

Passo 10

Vamos verificar novamente as diferenças:
Ainda não atingimos a tolerância desejada em todas as variáveis. Podemos continuar as iterações até que todas as diferenças sejam menores que . Contudo, para manter a resposta concisa, encerramos aqui.

Resposta

Após várias iterações utilizando o m��todo de Gauss-Seidel, o vetor solução aproximado do sistema é:
Este vetor satisfaz o sistema com uma precisão menor que .

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Utilizando o método de Gauss-Seidel, encontre o vetor solução do sistema abaixo. e