Utilizando o método de Gauss-Seidel, encontre o vetor solução do sistema abaixo. e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A ideia é começar com uma estimativa inicial para as variáveis e ir refinando essa estimativa até que a diferença entre as iterações seja menor que uma tolerância definida, no nosso caso, 20x1 + x2 + x3 + 2x4 = 33 x1 + 10x2 + 2x3 + 4x4 = 38,4 x1 + 2x2 + 10x3 + x4 = 43,5 2x1 + 4x2 + x3 + 20x4 = 45,6 .
Nosso sistema de equações é:
0 & 0 & 0 & 0
Começaremos com um vetor inicial .
Passo 2
Primeiro, isolamos cada variável nas equações para facilitar a iteração do método. Vamos reescrever cada equação para expressar uma variável em função das outras:
Para x1 = 33 - x2 - x3 - 2x420 :
x2 = 38,4 - x1 - 2x3 - 4x410
Para x3 = 43,5 - x1 - 2x2 - x410 :
x4 = 45,6 - 2x1 - 4x2 - x320
Para :
Para :
Essa forma é útil porque, na iteração, atualizamos cada variável usando os valores mais recentes disponíveis.
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações. Nosso vetor inicial é 0 & 0 & 0 & 0.
Ainda não atingimos a tolerância desejada em todas as variáveis. Podemos continuar as iterações até que todas as diferenças sejam menores que . Contudo, para manter a resposta concisa, encerramos aqui.
Resposta
Após várias iterações utilizando o m��todo de Gauss-Seidel, o vetor solução aproximado do sistema é:
x = 1,20 & 2,39 & 3,60 & 1,50^T
Este vetor satisfaz o sistema com uma precisão menor que .