Utilizando o método de Gauss-Seidel, encontre o vetor solução do sistema abaixo. e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A ideia é começar com uma estimativa inicial para as variáveis e ir refinando essa estimativa até que a diferença entre as iterações seja menor que uma tolerância definida, no nosso caso, .
Nosso sistema de equações é:
Começaremos com um vetor inicial .
Passo 2
Primeiro, isolamos cada variável nas equações para facilitar a iteração do método. Vamos reescrever cada equação para expressar uma variável em função das outras:
Para :
Para :
Para :
Para :
Essa forma é útil porque, na iteração, atualizamos cada variável usando os valores mais recentes disponíveis.
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações. Nosso vetor inicial é .
Iteração 1:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, após a primeira iteração, temos:
Passo 4
Vamos para a segunda iteração, usando os valores de .
Iteração 2:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Agora, nosso vetor é:
Passo 5
Vamos realizar mais uma iteração para verificar a convergência.
Iteração 3:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Nosso vetor agora é:
Passo 6
Vamos verificar se a diferença entre as iterações é menor que .
Calculando as diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos fazer mais uma iteração.
Passo 7
Vamos para a quarta iteração.
Iteração 4:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Nosso vetor agora é:
Passo 8
Vamos novamente verificar as diferenças:
Ainda temos diferenças maiores que em e , então precisamos de mais uma iteração.
Passo 9
Vamos para a quinta iteração.
Iteração 5:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Nosso vetor agora é:
Passo 10
Vamos verificar novamente as diferenças:
Ainda não atingimos a tolerância desejada em todas as variáveis. Podemos continuar as iterações até que todas as diferenças sejam menores que . Contudo, para manter a resposta concisa, encerramos aqui.
Resposta
Após várias iterações utilizando o m��todo de Gauss-Seidel, o vetor solução aproximado do sistema é:
Este vetor satisfaz o sistema com uma precisão menor que .