Utilizando o método de Gauss, encontre o vetor solução dos seguintes sistemas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss. O sistema que temos é:
Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente a eliminação de Gauss, para transformar esse sistema em uma forma mais simples e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
A ideia é usar operações nas linhas para transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos resolver as variáveis passo a passo.

Passo 3

Vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações. Para isso, podemos fazer:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtrair 4 vezes a primeira linha da terceira linha.
Aplicando essas operações:
Para a segunda linha:
A segunda linha fica:
Para a terceira linha:
A terceira linha fica:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 3 e somar à terceira linha:
Multiplicando a segunda linha por 3:
Somando com a terceira linha:
á
Ops, parece que houve um erro. Na verdade, para eliminar o da terceira linha, devemos somar 3 vezes a segunda linha com a terceira linha original:
Multiplicando a segunda linha por 3:
Somando com a terceira linha original:
Na verdade, a forma correta para eliminar é somar a segunda linha multiplicada por 3 com a terceira linha:
Multiplicando a segunda linha por 3:
Somando com a terceira linha:
Parece que continuamos com , vamos tentar outro método.

Passo 5

Vamos corrigir o processo. Para eliminar da terceira linha usando a segunda linha, faremos:
Multiplicamos a segunda linha por 3 e somamos com a terceira linha:
Segunda linha multiplicada por 3:
Somando com a terceira linha original:
Ainda não eliminamos . Vamos tentar uma abordagem diferente:
Multiplicamos a segunda linha por 1 e a terceira linha por 1 e subtraímos:
Isso elimina , resultando na terceira equação:

Passo 6

Agora, temos o sistema triangular:
Vamos resolver de baixo para cima:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

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