Utilizando o método de Gauss, encontre o vetor solução dos seguintes sistemas:
l 2 x1+2 x2-x3=5 4 x1+3 x2-x3=8 8 x1+5 x2-3 x3=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss. O sistema que temos é:
l 2 x1+2 x2-x3=5 4 x1+3 x2-x3=8 8 x1+5 x2-3 x3=16
Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente a eliminação de Gauss, para transformar esse sistema em uma forma mais simples e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
2 & 2 & -1 & | & 5 4 & 3 & -1 & | & 8 8 & 5 & -3 & | & 16
A ideia é usar operações nas linhas para transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos resolver as variáveis passo a passo.

Passo 3

Vamos começar eliminando o 4 - 2 times 2 = 0 3 - 2 times 2 = -1 -1 - 2 times (-1) = 1 8 - 2 times 5 = -2 das segunda e terceira equações. Para isso, podemos fazer:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtrair 4 vezes a primeira linha da terceira linha.
Aplicando essas operações:
Para a segunda linha:
0 -1 1 | -2
A segunda linha fica:
8 - 4 times 2 = 0 5 - 4 times 2 = -3 -3 - 4 times (-1) = 1 16 - 4 times 5 = -4
Para a terceira linha:
0 -3 1 | -4
A terceira linha fica:
2 & 2 & -1 & | & 5 0 & -1 & 1 & | & -2 0 & -3 & 1 & | & -4
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 0 -3 3 | -6 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 3 e somar à terceira linha:
Multiplicando a segunda linha por 3:
0 + 0 = 0 -3 + (-3) = -6 (mas já estamos eliminando, vamos reavaliar) 1 + 3 = 4 -4 + (-6) = -10
Somando com a terceira linha:
0 -3 3 | -6 á
Ops, parece que houve um erro. Na verdade, para eliminar o 0 + 0 = 0 -3 + (-3) = -6 3 + 1 = 4 -6 + (-4) = -10 da terceira linha, devemos somar 3 vezes a segunda linha com a terceira linha original:
Multiplicando a segunda linha por 3:
0 & -1 & 1 & | & -2 0 & -3 & 1 & | & -4
Somando com a terceira linha original:
0 -3 3 | -6
Na verdade, a forma correta para eliminar 0 + 0 = 0 -3 + (-3) = -6 3 + 1 = 4 -6 + (-4) = -10 é somar a segunda linha multiplicada por 3 com a terceira linha:
Multiplicando a segunda linha por 3:
Somando com a terceira linha:
Parece que continuamos com , vamos tentar outro método.

Passo 5

Vamos corrigir o processo. Para eliminar 0 -3 3 | -6 da terceira linha usando a segunda linha, faremos:
Multiplicamos a segunda linha por 3 e somamos com a terceira linha:
Segunda linha multiplicada por 3:
0 + 0 = 0 -3 + (-3) = -6 3 + 1 = 4 -6 + (-4) = -10
Somando com a terceira linha original:
0 - 0 = 0 -3 - (-1) times 3 = 0 1 - 1 times 3 = -2 -4 - (-2) times 3 = 2
Ainda não eliminamos 0 0 -2 | 2 . Vamos tentar uma abordagem diferente:
Multiplicamos a segunda linha por 1 e a terceira linha por 1 e subtraímos:
Isso elimina , resultando na terceira equação:

Passo 6

Agora, temos o sistema triangular:
2x1 + 2x2 - x3 = 5 0x1 - x2 + x3 = -2 0x1 + 0x2 -2x3 = 2
Vamos resolver de baixo para cima:
Da terceira equação:
-2x3 = 2 Rightarrow x3 = -1
Substituindo -x2 + (-1) = -2 Rightarrow -x2 = -1 Rightarrow x2 = 1 na segunda equação:
2x1 + 2(1) - (-1) = 5 2x1 + 2 + 1 = 5 2x1 + 3 = 5 2x1 = 2 x1 = 1
Substituindo e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 1, x2 = 1, x3 = -1

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