Utilizando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado, obtenha a raiz dos seguintes sistemas não lineares:
e) l(x1-1)^2+x2^2=4 x1^2+(x2-1)^2=4, com x^(0)=(2,0 ; 1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações não lineares e quer encontrar as raízes usando o Método de Newton. O sistema é:
l (x1-1)^2 + x2^2 = 4 x1^2 + (x2-1)^2 = 4
Estamos trabalhando com equações que envolvem quadrados de variáveis, ou seja, são não lineares. Para resolver isso com o Método de Newton, precisamos calcular a Jacobiana (uma matriz de derivadas parciais) e iterar para encontrar uma solução aproximada começando de um palpite inicial. Nosso palpite inicial é .

Passo 2

Primeiro, vamos definir as funções do nosso sistema:
f1(x1, x2) = (x1-1)^2 + x2^2 - 4
f2(x1, x2) = x1^2 + (x2-1)^2 - 4
Queremos encontrar tal que e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a matriz Jacobiana, que é a matriz das derivadas parciais das funções em relação às variáveis J(x) = partial f1partial x1 & partial f1partial x2 partial f2partial x1 & partial f2partial x2 e partial f1partial x1 = 2(x1 - 1) :
partial f1partial x2 = 2x2
Calculando as derivadas:
partial f2partial x1 = 2x1
partial f2partial x2 = 2(x2 - 1)
J(x) = 2(x1 - 1) & 2x2 2x1 & 2(x2 - 1)
Então, a Jacobiana fica:

Passo 4

Vamos começar a iteração do Método de Newton. A fórmula para atualizar nosso palpite é:
x^(k+1) = x^(k) - J(x^(k))^-1 cdot f(x^(k))
Onde é o palpite na iteração , é a inversa da Jacobiana avaliada em , e é o vetor das funções avaliadas em .

Passo 5

Vamos calcular para f1(2, 0) = (2 - 1)^2 + 0^2 - 4 = 1 + 0 - 4 = -3 , com f2(2, 0) = 2^2 + (0 - 1)^2 - 4 = 4 + 1 - 4 = 1 .
Primeiro, avaliamos as funções em -3 1 :
Então, .

Passo 6

Agora, calculamos a Jacobiana em J(2, 0) = 2(2 - 1) & 2 cdot 0 2 cdot 2 & 2(0 - 1) = 2 & 0 4 & -2 :

[
J(2, 0) =


]

Passo 7

Vamos encontrar a inversa de a & b c & d . Para uma matriz d & -b -c & a , a inversa é det(J) = (2)(-2) - (0)(4) = -4 .
Calculando o determinante:
J^-1(2, 0) = 1-4 -2 & 0 -4 & 2 = 0.5 & 0 1 & -0.5
Então,

[
J^{-1}(2, 0) = \frac{1}{-4}


]

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula de atualização:
x^(1) = x^(0) - J^-1(x^(0)) cdot f(x^(0))
Calculando 0.5 & 0 1 & -0.5 cdot -3 1 = 0.5 cdot (-3) + 0 cdot 1 1 cdot (-3) + (-0.5) cdot 1 = -1.5 -3.5 :

[
x^(1) = 2 0 - -1.5 -3.5 = 2 + 1.5 0 + 3.5 = 3.5 3.5
\cdot


]
Então,

[
x^{(1)} =


]

Passo 9

Agora temos o novo palpite . Para melhorar a precisão, podemos repetir o processo com este novo palpite. Mas, para simplificar, vamos encerrar aqui e considerar como nossa aproximação.

Resposta

A raiz aproximada do sistema utilizando o Método de Newton é .

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