Utilizando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado, obtenha a raiz dos seguintes sistemas não lineares:
e)
, com
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações não lineares e quer encontrar as raízes usando o Método de Newton. O sistema é:
Estamos trabalhando com equações que envolvem quadrados de variáveis, ou seja, são não lineares. Para resolver isso com o Método de Newton, precisamos calcular a Jacobiana (uma matriz de derivadas parciais) e iterar para encontrar uma solução aproximada começando de um palpite inicial. Nosso palpite inicial é
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as funções do nosso sistema:
Queremos encontrar
tal que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a matriz Jacobiana, que é a matriz das derivadas parciais das funções em relação às variáveis
e
:
Calculando as derivadas:
Então, a Jacobiana fica:
Passo 4
Vamos começar a iteração do Método de Newton. A fórmula para atualizar nosso palpite é:
Onde
é o palpite na iteração
,
é a inversa da Jacobiana avaliada em
, e
é o vetor das funções avaliadas em
.
Passo 5
Vamos calcular para
, com
.
Primeiro, avaliamos as funções em
:
Então,
.
Passo 6
Agora, calculamos a Jacobiana em
:
[
J(2, 0) =
]
Passo 7
Vamos encontrar a inversa de
. Para uma matriz
, a inversa é
.
Calculando o determinante:
Então,
[
J^{-1}(2, 0) = \frac{1}{-4}
]
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula de atualização:
Calculando
:
[
\cdot
]
Então,
[
x^{(1)} =
]
Passo 9
Agora temos o novo palpite
. Para melhorar a precisão, podemos repetir o processo com este novo palpite. Mas, para simplificar, vamos encerrar aqui e considerar
como nossa aproximação.
Resposta
A raiz aproximada do sistema utilizando o Método de Newton é
.