Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
Passo 1
Beleza, o exercício tá me pedindo pra calcular o limite
usando o primeiro limite fundamental. Isso envolve limites e funções trigonométricas, então vamos precisar de algumas identidades trigonométricas e entender bem o que acontece quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador, que é
. Tem uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar isso:
Isso vai facilitar nossa vida na hora de resolver o limite.
Passo 3
Substituindo essa identidade na expressão do limite, ficamos com:
Agora, vamos simplificar mais um pouco.
Passo 4
No denominador, temos
. Outra identidade trigonométrica útil é:
Substituindo isso, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos reescrever
como
, e a expressão fica:
Passo 6
Para aplicar o primeiro limite fundamental
, precisamos ajustar a expressão. Vamos multiplicar e dividir pelo mesmo fator para facilitar:
Passo 7
Agora, aplicamos o primeiro limite fundamental:
E sabemos que
e
, então:
Multiplicando tudo:
Resposta
O limite é igual a
.
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Determine
e
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Determine:
Seja
a função definida por:
Faça um esboço do gráfico de
.