Utilizando o produto escalar, determine os valores do escalar s para os quais os vetores e são ortonormais. Explique sua resposta esboçando um gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o produto escalar para descobrir quais valores de fazem com que os vetores e sejam ortonormais. Isso significa que os vetores devem ser ortogonais (ou seja, o produto escalar deles é zero) e que cada um tem comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que os vetores sejam ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar e igualamos a zero.
O produto escalar de dois vetores e é dado por:

Passo 3

Aplicando isso aos nossos vetores e :
Queremos que seja zero:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se cada vetor tem comprimento 1. O comprimento de um vetor é dado por:

Passo 5

Calculando para :
Queremos que isso seja igual a 1:
Mas isso conflita com a condição anterior onde . Por isso, não há valor de que satisfaça ambas as condições simultaneamente.

Resposta

Não existe nenhum valor de que torne os vetores e ortonormais.

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