Utilizando o produto escalar, determine os valores do escalar s para os quais os vetores
e
são ortonormais. Explique sua resposta esboçando um gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o produto escalar para descobrir quais valores de
fazem com que os vetores
e
sejam ortonormais. Isso significa que os vetores devem ser ortogonais (ou seja, o produto escalar deles é zero) e que cada um tem comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que os vetores sejam ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar
e igualamos a zero.
O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Passo 3
Aplicando isso aos nossos vetores
e
:
Queremos que seja zero:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se cada vetor tem comprimento 1. O comprimento de um vetor
é dado por:
Passo 5
Calculando para
:
Queremos que isso seja igual a 1:
Mas isso conflita com a condição anterior onde
. Por isso, não há valor de
que satisfaça ambas as condições simultaneamente.
Resposta
Não existe nenhum valor de
que torne os vetores
e
ortonormais.