Utilizando o produto escalar, determine os valores do escalar s para os quais os vetores b=x+s y e c= x-s y são ortonormais. Explique sua resposta esboçando um gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o produto escalar para descobrir quais valores de fazem com que os vetores e sejam ortonormais. Isso significa que os vetores devem ser ortogonais (ou seja, o produto escalar deles é zero) e que cada um tem comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que os vetores sejam ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar u cdot v = ux vx + uy vy e igualamos a zero.
O produto escalar de dois vetores e é dado por:

Passo 3

Aplicando isso aos nossos vetores b cdot c = (1)(1) + (s)(-s) = 1 - s^2 e 1 - s^2 = 0 Rightarrow s^2 = 1 Rightarrow s = pm 1 :
Queremos que seja zero:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se cada vetor tem comprimento 1. O comprimento de um vetor ||u|| = raizux^2 + uy^2 é dado por:

Passo 5

Calculando para ||b|| = raiz1^2 + s^2 = raiz1 + s^2 :
raiz1 + s^2 = 1 Rightarrow 1 + s^2 = 1 Rightarrow s^2 = 0 Rightarrow s = 0
Queremos que isso seja igual a 1:
Mas isso conflita com a condição anterior onde . Por isso, não há valor de que satisfaça ambas as condições simultaneamente.

Resposta

Não existe nenhum valor de que torne os vetores e ortonormais.

Exercícios relacionados