Utilizando as propriedades de limite, calcule: lim (x, y) (0,0) x yx^y+y^2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x yx^y+y^2+2. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como funciona o comportamento da função quando as duas variáveis, e , se aproximam de zero ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador e o denominador separadamente. No numerador temos . Quando e se aproximam de zero, o produto também vai para zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: . Precisamos entender como cada termo se comporta quando e estão próximos de zero.

Passo 4

Começando com . Quando se aproxima de zero, qualquer número positivo elevado a dá 1. Ou seja, para perto de zero.

Passo 5

O próximo termo é . Como está indo para zero, também vai para zero.

Passo 6

Por fim, temos o número 2, que é constante e não muda.

Passo 7

Juntando tudo no denominador: .

Passo 8

Agora, colocando numerador e denominador juntos, temos:
x cdot yx^y + y^2 + 2 approx 03 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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