Utilizando as propriedades de limite, calcule: lim (x, y) (1,1) x^3 y+y^3+3

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular o limite da função quando os valores de e estão chegando em . Para isso, vamos usar as propriedades de limites de funções de duas variáveis. O que a gente vai precisar saber é que, para funções polinomiais, o limite pode ser encontrado simplesmente substituindo as variáveis pelos valores que elas estão tentando alcançar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que temos: . Essa é uma função polinomial porque todas as potências de e são números inteiros não negativos. Uma coisa legal sobre funções polinomiais é que elas são contínuas em todos os pontos, o que significa que podemos achar o limite apenas substituindo os valores de e diretamente na função.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade de que o limite de uma soma é igual à soma dos limites. Ou seja:
lim(x, y) to (1,1) ( x^3 y + y^3 + 3 ) = lim(x, y) to (1,1) x^3 y + lim(x, y) to (1,1) y^3 + lim(x, y) to (1,1) 3

Passo 4

Vamos calcular cada um desses limites separadamente:
  1. Para 1^3 cdot 1 = 1 :
    Como a função é contínua, substituímos 1^3 = 1 e por 1:
  2. Para :
    Novamente, substituímos por 1:
  3. Para :
    Como 3 é uma constante, o limite é simplesmente 3.

Passo 5

Agora, somamos os três resultados que encontramos:
1 + 1 + 3 = 5

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados