Utilizando as propriedades de limite, calcule: lim (x, y) (1,1) ln (|1+x^2 y^3|)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis e vamos usar as propriedades dos limites e a continuidade da função logarítmica para chegar na resposta. Vamos precisar entender como calcular limites em múltiplas variáveis e aplicar a continuidade das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro do logaritmo: . Para achar o limite da função logarítmica, precisamos primeiro encontrar o limite dessa expressão conforme se aproxima de .

Passo 3

Calculando o limite de lim(x, y) (1,1) (1 + x^2 y^3) = 1 + (1)^2 cdot (1)^3 = 1 + 1 = 2 quando :
Então, o limite da expressão dentro do logaritmo é 2.

Passo 4

Agora, sabemos que a função logarítmica natural é contínua para . Isso significa que o limite do logaritmo da função é igual ao logaritmo do limite da função, desde que o limite da função dentro esteja dentro do domínio do logaritmo.

Passo 5

Aplicando a continuidade do logaritmo:
lim (x, y) (1,1) ln (|1+x^2 y^3|) = ln ( lim(x, y) (1,1) |1+x^2 y^3| ) = ln(2)

Resposta

O limite é .

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