Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a Regra da Cadeia, também conhecida como Regra da Função Composta. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas de funções exponenciais e trigonométricas, além de como aplicar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é o produto de duas funções:
e
. Quando temos o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto para derivar.
A Regra do Produto diz que se temos duas funções
e
, então a derivada de
é:
Passo 3
Vamos identificar
e
. Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções separadamente.
Primeiro, derivamos
. Aqui, usamos a Regra da Cadeia porque temos uma função composta dentro do expoente. A derivada de
é
.
Então,
Passo 4
Agora, derivamos
. A derivada de
é
.
Então,
Passo 5
Com as derivadas de
e
em mãos, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais limpa:
Resposta
A derivada da função é:
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