Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
F(x) = (x^2 + 1)^3 * (2x + 5)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a Regra da Cadeia. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar identificar as partes da função que são compostas e aplicar essas regras para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que F(x) é o produto de duas funções: e . Isso significa que vamos precisar usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções compostas. Aqui, a parte interna é x^2 + 1 e a externa é elevada ao cubo. Então, a derivada de u é .

Passo 4

Agora, vamos derivar , também usando a Regra da Cadeia. A parte interna é e a externa é elevada ao quadrado. Assim, a derivada de v é .

Passo 5

Com as derivadas de u e v encontradas, vamos aplicar a Regra do Produto na função original F(x). Substituindo, temos:
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada da função é:

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