Utilizando a tabela e propriedades da transformada de Laplace, calcule as transformadas das funções a seguir.
f(x) = e^(-x) * (x - x^2 + 3)
F(s) = 1/(s+1)^{2} - 2/(s+1)^{3} + 3/(s+1)

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos. A gente vai calcular a transformada da função . Para isso, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace e algumas propriedades importantes dessa ferramenta matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função é definida como:
Mas, para agilizar, usamos tabelas que já têm várias transformadas prontas. Isso ajuda a evitar cálculos complicados.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Podemos notar que há um termo multiplicando um polinômio. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda com isso:
Onde é uma constante e é a transformada de Laplace de . No nosso caso, .

Passo 4

Vamos então separar a função em partes mais simples:
Isso significa que a transformada de será a soma das transformadas de cada termo individualmente.

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de cada termo usando a propriedade que mencionamos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, juntamos todas as transformadas calculadas:

Resposta

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