Utilizando a tabela e propriedades da transformada de Laplace, calcule as transformadas das funções a seguir.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace e algumas propriedades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Vamos começar lembrando que podemos simplificar o produto de funções hiperbólicas usando identidades. A identidade para o produto é:
Aplicando isso na nossa função :

Passo 3

Sabemos que , então podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que diz que a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas. Assim:

Passo 5

Vamos lembrar da transformada de Laplace da função , que é:
Aplicando isso nas funções que temos:

Passo 6

Substituindo essas transformadas na expressão anterior:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão colocando os termos em um denominador comum. Observando que e , podemos reescrever:

Passo 8

Para combinar essas frações, vamos expressar cada uma como a soma de frações parciais:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:

Resposta

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, em que é cte.