Utilizando a tabela e propriedades da transformada de Laplace, calcule as transformadas das funções a seguir.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace e algumas propriedades das funções hiperbólicas.
Passo 2
Vamos começar lembrando que podemos simplificar o produto de funções hiperbólicas usando identidades. A identidade para o produto
é:
Aplicando isso na nossa função
:
Passo 3
Sabemos que
, então podemos simplificar:
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que diz que a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas. Assim:
Passo 5
Vamos lembrar da transformada de Laplace da função
, que é:
Aplicando isso nas funções que temos:
Passo 6
Substituindo essas transformadas na expressão anterior:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão colocando os termos em um denominador comum. Observando que
e
, podemos reescrever:
Passo 8
Para combinar essas frações, vamos expressar cada uma como a soma de frações parciais:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:
Resposta
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, em que
é cte.