Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral 2 x d xx^2+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral de 2xx^2 + 1 em relação a x. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integrais imediatas, que geralmente envolvem uma substituição simples para facilitar a integração.

Passo 2

Observando a expressão 2xx^2 + 1, percebemos que o numerador 2x é a derivada do denominador x^2 + 1. Isso nos sugere usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = x^2 + 1. Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que 2x , dx pode ser substituído por du na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 2x , dxx^2 + 1 = integral duu
Agora, a integral ficou bem mais simples!

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u mais a constante de integração:
integral duu = ln|u| + C
Como u = x^2 + 1 e x^2 + 1 é sempre positivo, podemos remover as barras de valor absoluto.

Resposta

ln(x^2 + 1) + C

Exercícios relacionados

Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral x cdot sen(3 x^2) d x
Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral(3 x+1)^7 d x
Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral(2 x)^9 d x
Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral a^x-a^-xa^x d x