Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada F(s) da função incógnita f(x) para cada EDO/PVI a seguir.
d f(x)/d x - f(x) = x
Res.: F(s) = 1 / (s^2 (s - 1)) + f(0) / (s - 1);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO):
O objetivo é encontrar a transformada de Laplace da função incógnita . Para isso, vamos utilizar o teorema da derivada e as propriedades da transformada de Laplace.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo pelas propriedades conhecidas:

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos para isolar :
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 4

Para encontrar , basta dividir ambos os lados da equação por :

Resposta

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