Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada da função incógnita para cada EDO/PVI a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
Nosso objetivo aqui é encontrar a Transformada de Laplace da função incógnita , que vamos chamar de . Para isso, vamos usar o teorema da derivada na Transformada de Laplace e outras propriedades que a gente aprendeu.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma das propriedades importantes da Transformada de Laplace, que é a Transformada da derivada. Para a primeira derivada:
E para a segunda derivada:
Onde e são as condições iniciais da função e da sua primeira derivada, respectivamente.

Passo 4

Substituindo essas transformadas na nossa equação, temos:
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de . Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos isolar :

Passo 7

Dividindo ambos os lados por :
Podemos simplificar como , então:

Passo 8

Finalmente, reorganizando os termos:

Resposta

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Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada da função incógnita para cada EDO/PVI a seguir.

Res.: ;
Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada da função incógnita para cada EDO/PVI a seguir.
Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada da função incógnita para cada EDO/PVI a seguir.
, em que e
Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada da função incógnita para cada EDO/PVI a seguir.
, em que e . Res.: ;