Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada F(s) da função incógnita f(x) para cada EDO/PVI a seguir.
d^2 f(x)/dx^2 - 3 df(x)/dx = -2 e^x, em que f(0) = 0 e f'(0) = 1
F(s) = 1/(s-1) - 1/s

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação:
com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a transformada de Laplace da função , que a gente vai chamar de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada segue essas regras:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Vamos substituir os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a transformada de . Sabemos que:
No nosso caso, , então:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Vamos reunir os termos que contêm :
Agora, isolamos :

Passo 6

Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, temos:

Passo 7

Agora, isolamos :
Podemos fatorar o denominador:
Então:

Resposta

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