Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
F(x, y) = -3y^5 / (x^2 + y^2) i + 5y^2 x^3 / (x^2 + y^2) j
para mover uma partícula ao longo da circunferência
x^2 + y^2 = 1
partindo do ponto 1,0 e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário). Resp.: 5/2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao mover uma partícula ao longo de uma circunferência unitária. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial . Aqui, temos:
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Fazendo as derivadas utilizando a regra do quociente, temos:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Green, que nos diz que:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Como estamos lidando com a circunferência unitária ( ), é mais fácil converter para coordenadas polares, onde , e . Assim, a integral dupla fica:
Simplificando e integrando:
Após integrar e simplificar, chegamos ao resultado final.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo é 5/2 pi.

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