Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
partindo do ponto e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário). Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao mover uma partícula ao longo de uma circunferência unitária. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial . Aqui, temos:
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Fazendo as derivadas utilizando a regra do quociente, temos:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Green, que nos diz que:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Como estamos lidando com a circunferência unitária ( ), é mais fácil converter para coordenadas polares, onde , e . Assim, a integral dupla fica:
Simplificando e integrando:
Após integrar e simplificar, chegamos ao resultado final.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo é .

Exercícios relacionados

Em um relógio, o ponteiro das horas tem 1 cm de comprimento.
a) qual a distância percorrida pela extremidade deste ponteiro ao longo de três horas? E de um dia?
Qual a medida, em graus, do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio,
a) às 16 h 00 ?
Se é um número real tal que sen , determine .
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
do ponto até o ponto . Resp.: .