Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
partindo do ponto
e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário). Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao mover uma partícula ao longo de uma circunferência unitária. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
. Aqui, temos:
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Fazendo as derivadas utilizando a regra do quociente, temos:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema de Green, que nos diz que:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Como estamos lidando com a circunferência unitária (
), é mais fácil converter para coordenadas polares, onde
,
e
. Assim, a integral dupla fica:
Simplificando e integrando:
Após integrar e simplificar, chegamos ao resultado final.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo é
.
Exercícios relacionados
Em um relógio, o ponteiro das horas tem 1 cm de comprimento.
a) qual a distância percorrida pela extremidade deste ponteiro ao longo de três horas? E de um dia?
a) qual a distância percorrida pela extremidade deste ponteiro ao longo de três horas? E de um dia?
Qual a medida, em graus, do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio,
a) às 16 h 00 ?
a) às 16 h 00 ?
Se
é um número real tal que sen
, determine
.
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
do ponto
até o ponto
. Resp.:
.