Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
F(x, y) = (x^4 - 3y^4)i + y(1 + 4x^3)j
para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
x² + y² = 1 com x ≥ 0 e y ≥ 0
do ponto 1,0 até o ponto 0,1. Resp.: 27/10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A gente precisa calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo definido pela equação
do ponto 1,0 até o ponto 0,1. Para isso, vamos usar o Teorema de Green que relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada C é igual à integral dupla sobre a região D delimitada por C de
Ou seja,

Passo 3

No nosso caso, a curva não é fechada, mas podemos fechar adicionando o trajeto do ponto 0,1 de volta ao 1,0 pelo eixo x. No entanto, como o trabalho é calculado em apenas uma parte da curva, podemos aplicar o Teorema de Green diretamente considerando a região D que é o quarto de círculo.

Passo 4

Vamos identificar P e Q no campo vetorial:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 7

A integral dupla fica então:
Como estamos lidando com um quarto de círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares para resolver essa integral.

Passo 8

Em coordenadas polares, temos:
e
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 9

Substituindo na integral, temos:

Passo 10

Vamos resolver a integral interna em r:

Passo 11

Agora, a integral externa em theta:

Passo 12

Portanto, o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula ao longo do quarto de círculo é:

Resposta

12/5

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