Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
do ponto
até o ponto
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A gente precisa calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo definido pela equação
do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green que relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por
de
Ou seja,
Passo 3
No nosso caso, a curva não é fechada, mas podemos fechar adicionando o trajeto do ponto
de volta ao
pelo eixo
. No entanto, como o trabalho é calculado em apenas uma parte da curva, podemos aplicar o Teorema de Green diretamente considerando a região
que é o quarto de círculo.
Passo 4
Vamos identificar
e
no campo vetorial:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 7
A integral dupla fica então:
Como estamos lidando com um quarto de círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares para resolver essa integral.
Passo 8
Em coordenadas polares, temos:
e
Além disso, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 9
Substituindo na integral, temos:
Passo 10
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 11
Agora, a integral externa em
:
Passo 12
Portanto, o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula ao longo do quarto de círculo é:
Resposta
Exercícios relacionados
Se
é um número real tal que sen
, determine
.
Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
partindo do ponto
e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário). Resp.:
.
Escreva o domínio máximo
das seguintes funções como união de intervalos:
d)
d)
Determine a imagem das seguintes funções:
a) dada por
.
a)