Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
do ponto até o ponto . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A gente precisa calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo definido pela equação
do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar o Teorema de Green que relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região delimitada por de
Ou seja,

Passo 3

No nosso caso, a curva não é fechada, mas podemos fechar adicionando o trajeto do ponto de volta ao pelo eixo . No entanto, como o trabalho é calculado em apenas uma parte da curva, podemos aplicar o Teorema de Green diretamente considerando a região que é o quarto de círculo.

Passo 4

Vamos identificar e no campo vetorial:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 7

A integral dupla fica então:
Como estamos lidando com um quarto de círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares para resolver essa integral.

Passo 8

Em coordenadas polares, temos:
e
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 9

Substituindo na integral, temos:

Passo 10

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 11

Agora, a integral externa em :

Passo 12

Portanto, o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula ao longo do quarto de círculo é:

Resposta

Exercícios relacionados

Se é um número real tal que sen , determine .
Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
partindo do ponto e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário). Resp.: .
Escreva o domínio máximo das seguintes funções como união de intervalos:
d)
Determine a imagem das seguintes funções:
a) dada por .