Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2 d V, onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral tripla integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2 d V, onde B é uma bola com centro na origem e raio 5. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a conta. Para isso, precisamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas para esféricas e aplicar a fórmula da integral tripla nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das relações entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e coordenadas esféricas (rho, theta, phi):
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão x^2 + y^2 + z^2 em termos de coordenadas esféricas. Substituindo as equações acima, temos:
x^2 + y^2 + z^2 = (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 + (rho cosphi)^2
= rho^2 sin^2phi cos^2theta + rho^2 sin^2phi sin^2theta + rho^2 cos^2phi
= rho^2 (sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) + cos^2phi)
\Como cos^2theta + sin^2theta = 1, simplificamos para:
= rho^2 (sin^2phi + cos^2phi) = rho^2 times 1 = rho^2

Passo 4

Agora que temos x^2 + y^2 + z^2 = rho^2, substituímos na integral original:
integral triplaB (x^2 + y^2 + z^2)^2 dV = integral triplaB rho^4 times rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
= integral triplaB rho^6 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como B é uma bola de raio 5:
  • rho varia de 0 a 5
  • phi varia de 0 a pi
  • theta varia de 0 a 2pi
Assim, a integral fica:
integral0^2pi integral0^pi integral0^5 rho^6 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^5 rho^6 drho = [ rho^77 ]0^5 = 5^77 - 0 = 781257

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
781257 times 2 times 2pi = 78125 times 4pi7 = 312500pi7
Então, o valor da integral é 312500pi7.

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