Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é a bola com centro na origem e raio 5 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral tripla
, onde
é uma bola com centro na origem e raio 5. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a conta. Para isso, precisamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas para esféricas e aplicar a fórmula da integral tripla nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações entre coordenadas cartesianas
e coordenadas esféricas
:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão
em termos de coordenadas esféricas. Substituindo as equações acima, temos:
\Como
, simplificamos para:
Passo 4
Agora que temos
, substituímos na integral original:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Como
é uma bola de raio 5:
-
varia de 0 a 5 -
varia de 0 a -
varia de 0 a
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas cilíndricas. Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro
como da esfera
.
Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule
, onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
.
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
está entre as esferas
e
e acima do cone
.
Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde
é a região triangular de vértices